Beweisaufgabe Eigenvektor, Eigenwerte und Eigenräume

Question

Aufgabe:

Es sei A eine 2 × 2 Matrix mit komplexen Einträgen.

a) Zeigen Sie: Wenn λ ein Eigenwert von A ist und p ∈ ℕ eine positive natürliche Zahl ist, so dass \( A ^ { p } = E _ { 2 } \) gilt, dann folgt \( \lambda ^ { p } = 1 \).

b) Untersuchen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:

Jede komplexe 2 × 2 Matrix, deren Eigenwerte in {-1, 1} enthalten sind, ist diagonalisierbar.

Begründen Sie Ihre Antwort.

c) Zeigen Sie:

Wenn \( A ^ { 2 } = E _ { 2 } \) gilt, dann ist jeder Eigenwert von A in {-1, 1} enthalten und A ist diagonalisierbar.

Answer 1

λ Eigenwert von A heißt: Es gibt ein v∈ℂ^2 mit v≠0 und

A*v = λ*v

==>  A^2 * v = A* ( A*v) = A* (λ*v)

            = λ*(A*v) = λ*λ*v = λ^2 * v

Also auch ( wenn man superpingelig ist

mit Induktion beweisen )   A^p *v = λ^p * v

und wenn A^p = E ist, dann ist ja A^p * v = E*v = v

also         λ^p * v = v = 1*v

und da v≠ 0   ist, also    λ^p = 1.

Comments

Alles klar danke und wie soll man b) angehen? Ich habe gerade wirklich keine Ahnung wie ich das machen sol

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Da weiß ich auch nicht so recht.