Suche Polynomfunktion vierten Grades mit Wendepunkten A(1/0)und B(-1/0)

Question

Die Punkte a(1/0)und b(-1/0) sind Wendepunkte des Graphen der Funktion f der vierten Grades. Bestimme alle Schnittpunkte dieser Kurve mit der x- Achse.. sowie die Extremalpunkte.  Danke für alle Hilfe

Answer 1

Die Punkte $A(1|0)$und $B(-1|0)$ sind Wendepunkte des Graphen der Funktion f vierten Grades.

Die Wendepunkte sind auch Nullstellen.
Weiter liegt Symmetrie mit der y-Achse vor.
$f(x)=a\cdot(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)=a\cdot[(x^2-1)(x^2-N^2)]$
$f'(x)=a\cdot[2x(x^2-N^2)+(x^2-1)\cdot 2x]=a\cdot[2x\cdot(2x^2-N^2-1)]\\=a\cdot[4x^3-2xN^2-2x)]$

$f''(x)=a\cdot[12x^2-2N^2-2)]$
$f''(1)=a\cdot[12-2N^2-2)]=a\cdot[10-2N^2)]=0$
$N^2=5$
$f(x)=a\cdot(x^2-1)(x^2-5)$
Nullstellen sind bei $x=- \sqrt{5}$, $x=- 1$  $x= 1$   und  $x= \sqrt{5}$

Extremwerte:
$f'(x)=a\cdot[4x^3-12x]$
$f'(x)=a\cdot[4x^3-12x]=0$
$x_1=0$      $f(0)=a\cdot[(0-1)(0-5)]=5a$
Art des Extremwertes:
$f''(0)=a\cdot[-12]$
1.Fall $a>0$   Maximum
2.Fall $a<0$  Minimum

$x_2=\sqrt{3}$     $f(\sqrt{3})=a\cdot(3-1)(3-5)=-4a$
Art des Extremwertes:
$f''(\sqrt{3})=a\cdot[12\cdot3-12)] =24a$
1.Fall $a>0$  Minimum
2.Fall $a<0$  Maximum

Answer 2

Ist die erste und zweite Bedingung
f''(1)=0
f''(-1)=0

?
und wie lauten die anderen drei notwendigen Bedingungen?