P- Norm zeigen bestimmen

Question

Aufgabe: Fur $x \in \mathbb{R}^N$ sei $|x|_p,\space p \in [1,\infty]$,die p-Norm (s. Wikipedia).

Zeigen Sie ferner für $N \ge 2$:

i.) $|x+y|_2 + |x-y|_2 = 2|x|_2 + 2|y|_2$ für alle $x,y \in \mathbb{R}^N$;

ii.) $p \in [1, \infty], p \ne 2 \implies \exists\, x,y \in \mathbb{R}^N: |x+y|_{p} + |x-y|_{p} \ne 2|x|_p + 2|y|_p$

Wie gehe ich hier vor ?

Comments

Formatieren oder vorlesen und Text dazu hinschreiben:

i. |x+y|2+|x−y|2 =2|x|2+2|y|2 fürallex,y∈RN;
ii. p ∈ [1, ∞], p ̸= 2 ⇒ ∃ x, y ∈ RN : |x+y|2p+|x−y|2p ̸= 2|x|2p+2|y|2p.

Warum steht da "ferner" ? Was hast du bereits gezeigt?

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Sei $x=(x_1, \dots , x_n)$ dann ist laut Wikipedia  die p-Norm wie folgt definiert: $$\lVert x \rVert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) ^{\frac 1p}$$

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p ̸= 2

Anscheindend kennt Werner die Frage. Was soll das bedeuten? p≠2?

Warum steht da "ferner" ? Was hast du bereits gezeigt?

Sicher, dass ii immer stimmt? 
Setze mal x ≠ 0 und y = 0 ein.

Gemäss Wikipedialink solltest du die 2en und ps eher tiefstellen als hochstellen.

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Gemäss Wikipedialink solltest du die 2en und ps eher tiefstellen als hochstellen.

Ja wahrscheinlich - dann ist aber $p$-Norm hier in der Aufgabe nicht definiert. Aber vielleicht wird das als bekannt voraus gesetzt.

Soll sich doch Alina mal dazu äußern. Immer blöd, wenn sich die Fragesteller nicht mehr melden ...

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Ich habe noch nichts gezeigt dass ferner steht  schon in der Aufgabe . Ich habe die Aufgabe mittlerweile gelöst aber trotzdem danke für die Antworten

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ist denn das $p$ nun hoch- oder tief zu stellen? und ist mit $p$-Norm das gemeint, was im Wiki beschrieben ist?

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Das was in Wiki steht

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Sicher, dass ii immer stimmt? 
Setze mal x ≠ 0 und y = 0 ein.