Mittlere und lokale Steigung: Verlauf einer Straße 0,5x^2 + 1

Question

Aufgabe:

Der Verlauf einer Straße wird durch die Funktion f(x)= 0,5x ²  + 1 beschrieben. An den Stellen x1= -2 und x2= 3 sollen tangential Ausfahrten angelegt werden. Bestimmen sie den Punkt, an welchem sich die beiden Ausfahrten kreuzen. Lösen sie die Aufgabe sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie man die Tangenten zeichnen soll..Aber man muss irgendwie zwei Funktionsgleichungen aufstellen und sie dann gleichsetzen.. Wie stellt man die denn auf?

Answer 1

f(x) = 0.5·x^2 + 1

Allgemeine Tangentengleichung an den Stellen -2 und 3 aufstellen.

g(x) = f'(-2)·(x - (-2)) + f(-2) = -2·x - 1

h(x) = f'(3)·(x - 3) + f(3) = 3·x - 3.5

Tangenten gleichsetzen g(x) = h(x)

-2·x - 1 = 3·x - 3.5 --> x = 0.5

g(0.5) = -2·0.5 - 1 = -2 → P(0.5 | -2)

Skizze

~plot~ 0.5x^2+1;-2x-1;3x-3.5 ~plot~

Answer 2

Lineare Funktionen haben die Form \(y=mx+b\), wobei m die Steigung in diesem Punkt ist und b der Schnittpunkt mit der y-Achse. Steigung im Punkt x1: \(f'(-2) \rightarrow m_1=-2 \rightarrow m_1(x)=-2x-1\) , im Punkt x2: \(f'(3) \rightarrow m_2=3x-3.5 \) Das b erhält man, wenn man die x- und y-Koordinaten dieses Punkt in die Gleichung einsetzt. Also bei \(m_1\) wäre dies: \(3=-2\cdot (-2)+b \rightarrow -1=b\).

Diese gleichsetzen: \(-2x-1=3x-3.5 \rightarrow x=0.5 \rightarrow m_1(0.5)=-2 \rightarrow \textrm{SP}(0.5\mid -2)\)