Zu 1):
Unter |z| kann man sich ja die Länge eines Zeigers in der komplexen Ebene vorstellen, der vom Ursprung auf z zeigt. Da dieser π lang sein soll, aber weiter keine Einschränkungen gemacht wurden, kann z beliebig auf einem Kreis mit Radius π liegen:
$$ z = \pi e^{i \phi} = \pi (cos \phi + i \ sin \phi) = a + ib \ ,$$
$$\phi \in [0,2 \pi ] \ , \quad a,b \in \mathbb{R}| \sqrt{a^2+b^2} = \pi$$
zu 2):
Der Betrag von z muss offensichtlich 2 sein, damit die Gleichung erfüllt ist, also |z|=2. z selbst darf laut Bedingung aber nicht gleich 2 sein, also müssen wir ihm noch eine beliebige Phase außer 0 geben:
$$ z = 2 e^{i \phi} = 2 (cos \phi + i \ sin \phi) = a+ ib \ ,$$
$$ \phi \in (0, 2 \pi] \ , \quad a,b \in \mathbb{R}| b \neq 0, \sqrt{a^2+b^2} = 2 \ .$$
Hier darf der Winkel Phi alle Werte größer 0 bis einschließlich 2π annehmen, daher das halboffene Intervall. Wäre die 0 mit drin, ergäbe sich 2*e0 und das ist gleich 2, was nicht erlaubt ist. In der kartesischen Form darf der imaginäranteil b nicht 0 werden, da z ansonsten gleich 2 wäre, was wieder nicht erlaubt ist.
zu 3):
$$ \sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2} e^{i \phi / 4} = 1 - i$$
Logarithmus ziehen und die Periodizität berücksichtigen:
$$ \Rightarrow \frac{i \phi }{4} = ln \left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right) + i 2 \pi n \ , \quad n \in \mathbb{Z}$$
Mit
$$ ln \left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right) = - \frac{ i \pi}{4}$$
folgt damit
$$\phi = 8 \pi n - \pi \ .$$
$$ \Rightarrow \quad z = \sqrt{2} e^{i (8 \pi n - \pi) } = \sqrt{2} ( cos(8 \pi n - \pi) + i \ sin(8 \pi n - \pi)) \ . $$
Ich hoffe der Rest ist klar, denn leider muss ich nun weg. Bei Fragen kann ich erst später antworten. Viel Erfolg.
