−λ^3+10∗λ^2+8∗λ−192 = -(λ+4)*(λ-8)*(λ-6) Wie kommt man auf die rechte Gleichung?

Question

Ich bin gerade dabei die Eigenwerte einer 3x3 Matrix zu berechnen und habe nach Sarrus folgendeGleichung erhalten.

$$-λ^3+10*λ^2+8*λ-192$$

Da ich nicht weiter kam habe ich meine Matrix in einen Online-Rechner eingeben, der auch recht ausführlich war, aber in einem Punkt nicht weiterhalf. Dort stand, dass

$$-λ^3+10*λ^2+8*λ-192 = -(λ+4)*(λ-8)*(λ-6)$$

gilt. Leider wurde nicht erklärt wie genau das zu stande kommt. Aus der rechten Gleichung sind die Eigenwerte dann relativ leicht abzulesen. Nun meine Frage:

Wie komme ich von der linken auf die rechte Gleichung? Wonach muss ich genau suchen um weiteres zu dem Thema lesen zu können?

Es wäre nett, wenn mir jemand einmal kurz die Schritt vorrechnen könnte.

Answer 1

$$-λ^3+10*λ^2+8*λ-192 = -(λ+4)*(λ-8)*(λ-6)$$

Hier geht es um die Zerlegung in Linearfaktoren.

Wenn das möglich ist, sind die Zahlen rechts in der Klammer

die Lösungen (mit umgekehrten Vorzeichen) der Gleichung

$$-λ^3+10*λ^2+8*λ-192 = 0$$

Wenn es hier reelle Lösungen gibt, dann sind die wegen der

-1 vor dem λ^3 auch ganzzahlig und Teiler von 192.

Da muss man dann mal probieren, etwa durch Einsetzen von

1, -1  und 2 und -2 und 3 und -3 und 4 und -4 etc.

Zum Glück kommt man bei -4 zum Ergebnis

64  +160 -32 -192 = 0.

Also ist ein Linearfaktor (λ+4) .  Dann machst du eine

Polynomdivision

$$(-λ^3+10*λ^2+8*λ-192) : (λ+4)=  -x^2 +14x - 48 $$

Und löst die Gleichung (pq-Formel)

$$-x^2 +14x - 48 =0$$

Das liefert die 6 und die 8.

Damit hast du die 3 Linearfaktoren und wegen des

minus von dem λ^3 setzt du vor alles noch ein minus.

Answer 2

das ist eine kubische Gleichung. Diese hat maximal 3 Lösungen. Im allgemeinen sind kubische Gleichungen nur schwierig zu lösen. Aber: man kann in vielen Fällen ganzzahlige Nullstellen erraten. Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle x_i gibt, so ist diese ein Teiler des Absolutglieds (bei dir -192)

192 hat die Teiler

1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96

jeweils mit + und - als Vorzeichen.

Diese Zahlen sind zu testen.

Starte mit den betragsmäßig kleinsten Zahlen, das ist einfacher.

Du kannst dann das Polynom als Produkt von Linearfaktoren schreiben:

P=-∏^3_i(lambda-x_i)

PS: eventuell kann man beim aufstellen des charackt. Polynoms schon geschickt ausklammern und eine Nullstelle ablesen, dann vereinfacht. sich die Rechnung enorm.

Gib hierzu die Matrix an.