# Nullteiler in Z, größte gemeinsammer Teiler

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Aufgabe:

(a)
Seien n,d∈N mit 0<d<n. Zeigen Sie, dass d¯¯¯ genau dann ein Nullteiler in Zn ist, wenn ggT(d,n)>1 ist.

(b)
Sei n∈N und (a1,a2,,an)∈Zn. Beweisen Sie, dass es immer i,j∈n−− mit i≤j gibt, so dass ∑jk=iak durch n teilbar ist.

## 2 Antworten

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Bei der a habe ich ne Fallunterscheidung gemacht was für ggt(d,n)=1 gilt(Einheit)--->Kein Nullteiler.

und was für den ggt > 1 gilt. Keine Ahnung obs Richtig ist.^^

bei der b Rätsel ich gerade noch. :)

(RWTH Info???)

Grüße

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ich habe das gleiche aber auf englisch gefunden. Ich hoffe, dass es dir hilft:

FRAGE:

Prove that GCD(a, m) = 1 if and only if ¯a ∈ Zm is a unit. GCD(a, m) = 1 if and only if ax + my = 1 for some x, y ∈ Z if
and only if ax ≡ 1 (mod m) if and only if a¯ ∈ Zm is a unit.

(b) Prove that if ¯a ∈ Zm is a zero-divisor, then GCD(a, m) > 1,
and conversely.

ANTWORT:

If a¯ is a zero divisor, then ab ≡ 0 (mod m) for some b with m - b. Hence, m|ab. Since m - b, that means that some prime factor
p of m must divide a. Hence, GCD(a, m) > 1. Conversely, suppose GCD(a, m) > 1. Let p be a prime dividing both a and m, and let b = m/p. Then ab = am/p = (a/p)m ≡ 0 (mod m). Hence a is a zero divisor.

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