Beweise f: Z/mZ -> Z/mZ ist injektiv wenn ggT(a,m) = 1

Question

Hallo liebe Helfer,

ich komme bei einer Matheaufgabe leider gar nicht weiter und brauch eure Hilfe.
Gegeben ist eine Abbildung f: Z/mZ -> Z/mZ mit f(x) = ax. Mit a,m Element Z und m > 1.
Zu zeigen ist, dass diese Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der größte gemeinsame Teiler ggT(a,m)=1

Meine Idee war zunächst folgende:

Seien u,v Elemente aus Z/mZ dann ist zu zeigen das aus f(u) = f(v) folgt u=v:

f(u) = f(v) -> au = av
wenn ich jetzt durch a teile folgt ja schon u=v

Mein Problem ist jetzt hab ich ja nichts mit dem ggT(a,m)=1 gezeigt.

Jetzt war meine Idee:

Wenn der ggT(a,m)=1, dann muss ja a oder m eine Primzahl sein. Und wir hatten in der Vorlesung das Z/mZ keine Nullteiler hat, wenn m eine Primzahl.
Irgendwie weiß ich jetzt aber nicht wie ich diese beiden Ideen zusammen bekomme oder bin ich total auf dem Holzweg?

Answer 1

f(u) = f(v) -> au = av   stimmt ja nur in  Z/mZ , also

heißt das :

Es gibt ein k aus Z mit    au - av   =  k*m

<=>        a * (u-v) = k*m

und nur weil ggT(a,m) = 1 folgt daraus

                  (u-v) teilt m , also in   Z/mZ

                u-v = 0     also   u=v.

Wenn der ggT(a,m)=1, dann muss ja a oder m eine Primzahl sein.

Das stimmt so auch nicht

ggT( 2*3 , 5*7 ) = 1 ist ein Gegenbeispiel !