Äquivalenzrelation für Mengen nicht verständlich

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie,ob folgende binäre Relationen \( R \subset M \times M \) auf der Menge \( M \) Äquivalenzrelationen sind. Bestimmen bzw. veranschaulichen Sie gegebenenfalls die Äquivalenzklassen.

\( M= \) Reellen Zahlen, \( x_{1} R x_{2} \Longleftrightarrow\left[x_{1}\right]=\left[x_{2}\right] \), wobei \( [x] \) die kleinste ganze Zahl \( k \) mit \( k \geq x \) bedeutet

\( M= \) Reelle Zahlen, \( (a ; b) R(c ; d) \Longleftrightarrow a-d=c-b \)

\( M=\left\{(x, y) \epsilon\right. \) reellen Zahlen \( \left.^{2}: x \geq 0\right\},\left(x_{1}, y_{1}\right) R\left(x_{2}, y_{2}\right) \Longleftrightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \)

Ansatz/Problem:

Ich komme einfach bei dieser Aufgabe nicht weiter da ich mir die Mengen nicht richtig vorstellen kann. Was eine Äquivalenzrelation ist weiß ich und ich kann auch mit den -klassen umgehen.

Damit ich mir aber nicht alles vorsagen lassen brauch hier mal meine Ansätze:

zu 1) die Elemente von M sind alle ganzen Zahlen in aufsteigender Folge, M = (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)

zu 2)  kann ich überhpt nichts mit anfangen ( anstatt semikolon soll ein komma stehen in der Relation)

zu 3) die Element von M sind Tupel wobei x immer größer 0 und die summe des quadrats von x und y in Relation zum selbigen von x,y 2 steht. Bsp: (0, 1/3) R (1/3, 0), es sollte aber auch (2, 4) R (3, wurzel 11 ) gehen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Äquivalenzrelation für Mengen

Um zu bestimmen, ob eine gegebene Relation eine Äquivalenzrelation ist, müssen wir überprüfen, ob sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

1. Äquivalenzrelation in \( M \) mit \( x_{1} R x_{2} \Longleftrightarrow\left[x_{1}\right]=\left[x_{2}\right] \)

- Reflexivität: Für jedes \( x \) in \( M \) gilt, dass \( [x] = [x] \), also \( x R x \). Somit ist die Relation reflexiv.
- Symmetrie: Wenn \( x_1 R x_2 \), dann \( [x_1] = [x_2] \). Dies impliziert, dass \( [x_2] = [x_1] \), also \( x_2 R x_1 \). Die Relation ist symmetrisch.
- Transitivität: Wenn \( x_1 R x_2 \) und \( x_2 R x_3 \), dann gilt \( [x_1] = [x_2] \) und \( [x_2] = [x_3] \). Daraus folgt \( [x_1] = [x_3] \), und daher \( x_1 R x_3 \). Die Relation ist transitiv.

Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen entsprechen den Mengen reeller Zahlen, die bei Abrundung zur selben Ganzzahl führen. Beispiel: Die Äquivalenzklasse von 1,5 würde alle Zahlen von 1 (inklusive) bis knapp unter 2 umfassen.

2. Äquivalenzrelation in \( M \) mit \( (a, b) R (c, d) \Longleftrightarrow a - d = c - b \)

- Reflexivität: Für alle \( (a, b) \), gilt \( a - b = a - b \), also \( (a, b) R (a, b) \). Reflexivität ist gegeben.
- Symmetrie: Wenn \( (a, b) R (c, d) \), dann \( a - d = c - b \). Dies impliziert \( c - a = b - d \), daher gilt auch \( (c, d) R (a, b) \). Symmetrie ist gegeben.
- Transitivität: Wenn \( (a, b) R (c, d) \) und \( (c, d) R (e, f) \), dann \( a - d = c - b \) und \( c - f = e - d \). Addiert man diese Gleichungen, erhält man \( a - f + c - c = e - b \) bzw. \( a - f = e - b \), was \( (a, b) R (e, f) \) entspricht. Transitivität ist gegeben.

Diese Relation ist ebenfalls eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen können aber nicht einfach ohne weitere Informationen identifiziert werden, da es unendlich viele Kombinationen gibt, die die gegebene Bedingung erfüllen.

3. Äquivalenzrelation in \( M \) mit \( (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \Longleftrightarrow x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \)

- Reflexivität: Offensichtlich gilt für jedes \( (x, y) \), dass \( x^2 + y^2 = x^2 + y^2 \), somit \( (x, y) R (x, y) \). Reflexiv.
- Symmetrie: Wenn \( (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \), dann gilt \( x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \). Dieselbe Gleichung gilt in umgekehrter Reihenfolge, also \( (x_2, y_2) R (x_1, y_1) \). Symmetrie ist gegeben.
- Transitivität: Wenn \( (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \) und \( (x_2, y_2) R (x_3, y_3) \), dann gilt \( x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \) und \( x_2^2 + y_2^2 = x_3^2 + y_3^2 \). Daraus folgt \( x_1^2 + y_1^2 = x_3^2 + y_3^2 \), d.h. \( (x_1, y_1) R (x_3, y_3) \). Transitivität ist gegeben.

Diese Relation bildet eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen entsprechen den Mengen von Punkten, die denselben Abstand zum Ursprung haben, also konzentrische Kreise um den Ursprung.

Zusammenfassend sind alle drei angegebenen Relationen Äquivalenzrelationen, mit jeweils unterschiedlichen Äquivalenzklassen, die auf den spezifischen Bedingungen der jeweiligen Relation basieren.