Ist das Produkt zweier elementarer Funktionen auch eine elementare Funktion?

Question

Aufgabe: 

Bestimmen Sie den Parameter t ∈ R so, dass die folgende Funktion stetig ist:

$$ f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \quad \text { mit } \quad f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x + 1 ) \cdot e ^ { - \frac { 1 } { x + 1 } } } & { \text { für } \quad x > - 1 } \\ { ( 2 t + 3 ) \cdot x } & { \text { für } x \leq - 1 } \end{array} \right. $$

Problem/Ansatz:

Ich bin gerade dabei mir den Definitionsbereich (-1,+∞) anzusehen. Soweit ich weiß sind die beiden Faktoren jeweils elementar. Falls man so eine Aussage nicht treffen kann, wie könnte die Stetigkeit im Intervall am besten zeigen.

Vielen Dank.

Comments

Die Frage hat sich erledigt durch Multiplikation zweier stetiger Funktionen.

Answer 1

Das einzige ernsthafte Problem ist die Stetigkeit bei x= -1.

Da müssen die Grenzwerte von rechts und links und

der Funktionswert an dieser Stelle gleich sein.

für x>-1 und x gegen -1 ist der Grenzwert zu untersuchen von $$( x + 1 ) \cdot e ^ { - \frac { 1 } { x + 1 } }  $$

Das ist vom Typ 0*∞, könnte also mit dem Satz von de Hospital klappen, also erst mal auf geeignete Form bringen:

$$\frac  {  e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }}{ \frac {1}{x+1}  } $$

Dann Zähler und Nenner ableiten

$$\frac{\frac { - e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }} {(x+1)^2}}  {\frac{-1}{(x+1)^2}}= e ^ { \frac { -1 } { x + 1 } }$$

und für x gegen -1 und x > -1 geht das gegen 0.

Also muss das t so gewählt werden, dass (2t+3)*x

für x=-1 auch 0 ergibt

(2t+3)*(-1) = 0

<=>  -2t - 3 = 0

<=>    t = -3/2

Comments

L'hospital ist nicht von nöten, denn lim x -->(-1)+   e^(-1/(x+1))="e^(-+∞)"=0