Sei f : R^n —> R^m eine lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ^n → ℝ^m eine lineare Abbildung.

Beweise mithilfe des Kerns und Bildes von der Darstellungsmatrix folgende Aussagen:

i) Zeigen Sie, dass m = n ist, wenn f ein Isomorphismus ist.

ii)  Zeigen Sie, dass die Aussage aus i) keine Äquivalenz sondern eine Implikation ist (Rückrichtung gilt nicht)

Problem/Ansatz:

Könnte bitte jemand helfen beiden nicht weiter, würde mir jemand erklären, wie ich es beweisen kann?

Vielen Dank

Answer 1

Wenn f ein Isom. ist, dann ist er Injektiv , also Kern(f) = {0}

und er ist surjektiv, also Bild(f) = R^m.  ==>  rang(f)=m

MIt   dim(Kern(f)) + dim(Bild(f) = dim (R^n) folgt

            0 + m = n .

Und eine lineare Abbildung von R^2 nach R^2 ist z.B.

auch die Nullabbildung, die ist aber nicht Injektiv,

also kein Isom.

Comments

Dankeschön mathef

Aber was ich nicht verstehe ist die d)

Was ist mit der Implikation eigentlich gemeint?

---

Marcy versteht nichts :(

Es soll doch gezeigt werden, dass f ein Isomorphismus ist, wenn m = n gilt. und du hast jetzt gezeigt, dass es nicht gilt, or?

---

Es war zu zeigen:

Wenn n=m dann muss f nicht notwendig ein Isomorphismus sein.

Das Beispiel Nullabbildung zeigt dies.

---

Danke.

Dann war das ja schon die d) die du gezeigt hast.