Question

Konstruieren Sie eine gebrochen-rationale Funktion der Gestalt:

f(x)=(A*x²+B*x+C)/(x+D)

1) Die Asymptote für x → unendlich ist:

     a(x)=6x+1

2) f besitzt an der Stelle x=3 eine Polstellen

    mit Vorzeichenwechsel

3) Der Punkt (-2;4) liegt auf dem Graph der

    Funktion f.

Antwort:

A=? / B=? / C=? / D=?

Answer 1

Hi,

Dank 2) kannst Du direkt D = -3 ablesen. Eine Polstelle liegt nämlich nur an der Nennernullstelle vor.

Nun kannst Du den Bruch auseinanderreißen:

$$\frac{Ax^2+Bx+C}{x-3} = \frac{Ax^2+Bx}{x-3} + \frac{C}{x-3}$$

Nun soll x im Unendlichen 6x+1 als Asymptote besitzen. Dafür muss der erste Summand nach eine Division 6x+1 ergeben. Also kann man verlangen: (6x+1)(x-3) = 6x²-17x-3

A = 6 und B = -17. Für C brauchen wir nun noch die Bedingung aus 3).

$$\frac{6(-2)-17(-2)-3+C}{(-2)-3} = 4$$

C = -75

Vorsicht: Die -3 muss auch noch ins C, also C' = -78

$$\to \frac{6x-17x-78}{x-3}$$

Grüße

Answer 2

Um die ersten beiden Bedingungen zu erfüllen, muss f(x)=$\frac{(6x+1)(x+k)}{x-3}$ gelten.

(Überzeuge dich, dass die ersten beiden Bedingungen dadurch erfüllt sind.)

Berechne mit diesem Term f(-2) und wähle k dann so aus, dass f(-2)=4 gilt.

Am Ende musst du den Zähler nur noch ausmultiplizieren, um ihn aus der Produktform in die Form

A*x²+B*x+C zu bekommen.

Oder du ignorierst diese Hinweise, denn irgendwer wird schon eine Komplettlösung abliefern.

Answer 3

Wegen der Asymptote und des Pols fang besser mal so an:

f(x) = 6x+1 + Z/(x-3)

und f(-2) = 4 gibt

  -11 + Z/-5 = 4

         Z/-5 = 15

           z = -75

Also f(x) = 6x+1 - 75/(x-3)

              =( (6x+1)*(x-3)  -75 ) / x-3

              =  (6x² - 17x -78 ) / (x-3)

also A=6 / B=-17 / C=-78 / D=-3

Kontrolle: Plotlux öffnen

f₁(x) =  6x+1-75/(x-3)Zoom: x(-5…8) y(-50…100)

Comments

Danke für die Hilfe aber C=42 ist falsch korrekt ist C=-78

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Hab ich auch grad gemerkt.