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Konstruieren Sie eine gebrochen-rationale Funktion der Gestalt f(x)= (A⋅x^2+B⋅x+C) / (x+D)
mit den folgenden Eigenschaften:

1) Die Asymptote für x→∞

ist: a(x)=7 · x + 7 .

2) f besitzt an der Stelle x=2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

3) Der Punkt (-5 ; 3 ) liegt auf dem Graph der Funktion f.

von

2 Antworten

+1 Punkt

   Rein grundsätzlich musst du hier etliches wissen .  Ich war früher mal bei einem anderen Portal beschäftigt, wo ich viel näher am Schüler dran war als hier. Daher weiß ich, dass ihr alle Polynomdivision ( PD ) könnt, was ja  an sich auch recht löblich ist . eure Lehrer setzen PD nur für die unmöglichsten Zwecke ein statt dann, wenn es wirklich drauf ankommt .

    Wir haben hier nämlich eine unecht gebrochene Funktion .  Also eines lässt sich mit Bestimmthsit agen:  D  =  2  ,  weil das die Polstelle gemäß Ziffer 2) ist .

   Genau genommen ist das ja sogar eine PD durch Linearfaktor ( PDLF )  Weil hier haben wieder mal eindeutig die Genies vom Internet die Nase vorn und nicht die Unität .  Ein anonymes Internetgenie hat nämlich entdeckt, dass PDLF äquivalent dem Hornerschema ( und das könnt ihr schließlich auch alle. )

     Ich führe erst mal die Notation ein. Die Prinzipskizze der PDLF lautet - ohne uns hier im Einzelnen auf das quietschende, verrostete Räderwerk der PD einlassen zu wollen


     f  (  x  )  :=  z  (  x  )  :  (  x  -  2  )  =:  m  x  +  b  Rest  z  (  2  )          (  1a  )

     z  (  x  )  :=  A  x  ²  +  B  x  +  C     (  1b  )


   ( z wie Zähler  )    Ich las hier mal den Kommentar

   " Während sich der Schrat da vorne an der Tafel eine gee-schlaa-gene Viertelstunde mit seiner PD abmüht, habe ich das Ergebnis in 5 sec im Kopf.   Wie es geht? Das verrate ich euch nur, wenn ihr hübsch fein höflich zzu mir seid und ich nicht deaktiviert werde ... "

     Jetzt sind übrigens die im Vorteil, die schon mal programmiert haben. Weil das Prinzip von Onkel Horner beruht auf einer Kettenrechnung; solche Aufgaben stellen sich  bereits Schüler von Kl. 4 unaufgefordert gegenseitig. Wie ihr alle wisst, entspricht es guten Programmierstil, wenn eine Unterroutine den Arbeitsvektor zurück gibt; sprich:  Du löschst die Zwischenschritte von Horner nicht aus deinem Memory, somdern tust sie auf einem Schmierzettel protokollieren .  In der Notation ( 1ab ) ergibt sich das Schema ( fast schon zu einfach, um das allgemeine Prinzip zu durchschauen )


     p2  (  z  )         :=                a2  (  z  )  =  A                          =  m          (  2a  )

    p1  (  z  ;  2  )  :=  2  P2  +  a1  (  z  )  =  2  A  +  B              =  b           (  2b  )

    p0  (  z  ;  2  )  :=  2  P1  +  a0  (  z  )  =  4  A  +  2  B  +  C  =  z ( 2 )        (  2c  )

   z  (  x  )  :  (  x  -  2  )  =  A  (  x  +  2  )  +  B  +  (  4  A  +  2  B  +  C  )  /  (  x  -  2  )     (  2d  )


     Und jetzt startet die große 1 00 $ Preisfrage, wobei ich  ( zu meinen gunsten ) hoffe, dass du nicht gänzlich den Überblick verloren hast. Welche Art Typ von Funktion vermutest du hinter  ( 2d ) ?

    Wenn du jetzt antwortest

    " Gerade  +  Hyperbel  "

    dann allerdings ist es mir gelungen, dich voll zu linken.     Im Internet   musste ich mich nämlich mal mit einer Extremwertaufgabe befassen . Und da transformierte ich so vor mich hin, wie es meine Art ist. Zunächst war ich voll fassungslos:


      f  (  x  )  =  A  x  +  B  +  C / ( x - x0  )  ;  C  >  0      (  3a  )


          IST  eine Hyperbel.  Am Schnellsten siehst du das ein,   wenn wir die Polstelle x0 in den Ursprung verschieben ( x0 = 0 )  so wie die Hyperbel so weit nach Unten schieben, dass der Offset B = 0


          y  =  A  x  +  C / x     |   *  x       (  3b  )

     x  y  -  A  x  ²  =  C  =  const      (  3c  )


    Bei ( 3c ) handelt es sich um eine ===>  homogene quadratische Form  ( HQF ) ;  und  HQF sind stets ===>  Kegelschnitte . Mach dich mal schlau, was du in der Literatur geboten kriegst unter " Normalform der Hyperbel "  Dem gemäß habe ich  also eine zweite Normalform entdeckt, die Habakukform.

   Normalform bedeutet quasi immer die Umkehrung; jede Kurve der Klasse ( Hyperbel ) lässt sich in Form  ( 3a ) bringen . Du musst nur das Zeichenblatt so drehen, dass eine der beiden Asymptoten vertikal verläuft unter 90 ° C parallel zur Ordinate ( was selbst redend stets möglich ist )

   Das Ei des Habakuk; tadaah !

   ( 3a ) schaut dich nur deshalb so seltsam an, weil du bisher die gleichseitigen Hyperbeln gewohnt warst, deren Asymptoten aufeinander senkrecht stehen. Dann allerdings verläuft  die zweite Asymptote parallel zur Abszisse,    und der A_Term in ( 3a ) ist Null .

   Schauen wir uns die beiden Asymptoten in ( 2d ) näher an:


         g  (  x  )  =  A  (  x  +  2  )  +  B        (  4  )


         und selbst redend   x  =  2  .   Koeffizientenvergleich von  (  4  )  mit Punkt ( 1 ) deiner Aufgabe:  A  =  (  +  7  )  ;  B  =   (  -  7  )

   Jetzt ist nur noch C offen; und da setze ich am Besten   deinen Punkt P3 in die ( unecht gebrochene ) Ausgangsform ein:


      (  7  *  25  -  7  *  5  +  C  ) / (  -  7  )  =  3     (  5a  )

   =  C  +  140  =  (  -  21  )  ===>  C  =  (  -  161  )     (   5b  )  

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Ansatz f(x)=((7x+7)(x-2)+e)/(x-2) hier (-5|3) einsetzen und nach e auflösen.

von 54 k

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