Antwort mit KI erzeugt
Symmetriegruppen: Geben Sie für \(n\in\{1, 2\}\) die Elemente von Abb(\(A, A\)) an
Zu (i) Die Elemente von \( \mathrm{Abb}(A, A) \) und \(\operatorname{Sym}(A)\):
Wenn \(A\) eine endliche Menge mit \(n\) Elementen ist, dann bezeichnet \( \mathrm{Abb}(A, A) \) die Menge aller Abbildungen von \(A\) nach \(A\), und \(\operatorname{Sym}(A)\) ist die Menge aller bijektiven Abbildungen von \(A\) nach \(A\), d.h. aller Permutationen von \(A\).
Für \(n=1\), sagen wir, \(A=\{a\}\):
- Es gibt nur eine mögliche Abbildung, die \(a\) auf sich selbst abbildet. Daher ist \( \mathrm{Abb}(A, A) = \operatorname{Sym}(A) = \{\alpha\}\), wobei \(\alpha(a) = a\).
Für \(n=2\), nehmen wir an, \(A=\{a, b\}\):
- Es gibt vier mögliche Abbildungen:
1. \(\alpha_1\): \(a \mapsto a\), \(b \mapsto b\)
2. \(\alpha_2\): \(a \mapsto b\), \(b \mapsto a\)
3. \(\alpha_3\): \(a \mapsto a\), \(b \mapsto a\) (nicht bijektiv)
4. \(\alpha_4\): \(a \mapsto b\), \(b \mapsto b\) (nicht bijektiv)
- Daher ist \( \mathrm{Abb}(A, A) \) die Menge aller dieser vier Abbildungen, aber \(\operatorname{Sym}(A) = \{\alpha_1, \alpha_2\}\), da nur diese beiden bijektiv sind.
Zu (ii) Zeigen, dass wenn \(\alpha, \beta \in \operatorname{Sym}(A)\), dann auch \(\alpha\beta \in \operatorname{Sym}(A)\):
Um zu zeigen, dass die Komposition zweier bijektiver Abbildungen \( \alpha \) und \( \beta \) auch bijektiv ist, müssen wir nachweisen, dass \( \alpha\beta \) sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
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Injektivität: Angenommen, \( \alpha\beta(x) = \alpha\beta(y) \). Da \(\alpha\) bijektiv und somit injektiv ist, folgt, dass \(\beta(x) = \beta(y)\). Da \(\beta\) ebenfalls injektiv ist, folgt, dass \(x = y\). Dies zeigt, dass \( \alpha\beta \) injektiv ist.
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Surjektivität: Sei \(c\) ein beliebiges Element in \(A\). Da \(\alpha\) surjektiv ist, existiert ein Element \(b \in A\) so, dass \(\alpha(b) = c\). Da auch \(\beta\) surjektiv ist, existiert ein Element \(a \in A\) so dass \(\beta(a) = b\). Daher ist \(\alpha(\beta(a)) = \alpha(b) = c\), was zeigt, dass \( \alpha\beta \) surjektiv ist.
Da \( \alpha\beta \) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist es bijektiv, und somit gilt \(\alpha\beta \in \operatorname{Sym}(A)\).
Zu (iii) Finden von Elementen \(\alpha, \beta \in \operatorname{Sym}(A)\) für \(n \geq 3\), sodass \(\alpha\beta \neq \beta\alpha\):
Für \(n = 3\), nehmen wir \(A = \{a, b, c\}\). Wir definieren \(\alpha\) und \(\beta\) wie folgt:
- \(\alpha(a) = b\), \(\alpha(b) = c\), \(\alpha(c) = a\)
- \(\beta(a) = a\), \(\beta(b) = c\), \(\beta(c) = b\)
Betrachten wir \(\alpha\beta\) und \(\beta\alpha\):
- \(\alpha\beta(a) = \alpha(a) = b\), aber \(\beta\alpha(a) = \beta(b) = c\)
- Dies zeigt, dass \(\alpha\beta \neq \beta\alpha\), da ihre Wirkung auf zumindest ein Element von \(A\) unterschiedlich ist.
Somit haben wir gezeigt, dass für \(n \geq 3\), Elemente \(\alpha, \beta \in \operatorname{Sym}(A)\) existieren können, sodass \(\alpha\beta \neq \beta\alpha\), was darauf hindeutet, dass die Komposition von Permutationen nicht kommutativ ist.
