0 Daumen
901 Aufrufe

Aufgabe:

z2=34jz^2 = -3-4\cdot j

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Defintion der komplexen Wurzel, jedoch weiss ich nicht wie ich das Argument mit der Argumentfunktion bestimmen soll, ohne den Arkustangens anzuwenden. Die komplexe Wurzel ist bei uns wie folgt definiert.  zn=znejarg(z)n\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\cdot {e}^{j\cdot \frac{arg(z)}{n}}

Dabei ist das Argument von z der Winkel ϕ\phi

Hoffe das mir dabei jemand helfen kann.

VG :)

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

ohne Arkustanges  ->dann so:

G5.gif

Avatar von 121 k 🚀
+2 Daumen

Es geht Dir ja darum, arctan(z2)(z2)2=?\frac {\arctan \frac{\Im(z^2)}{\Re(z^2)} }{2} = ? zu berechnen. Du hast oben bereits geschrieben, dass arg(z2)=arctan(z2)(z2)=ϕ\arg(z^2) = \arctan \frac{\Im(z^2)}{\Re(z^2)} = \phi dann ist arctan(z2)(z2)2=ϕ2\frac {\arctan \frac{\Im(z^2)}{\Re(z^2)} }{2} = \frac {\phi}2 und nach den Additionstheoremen ist tanϕ2=1cosϕsinϕ\tan \frac{\phi}{2} = \frac{1-\cos \phi}{\sin \phi} und hier ist tanϕ2=13z24z2=13545=2\tan \frac{\phi}{2} = \frac{1 - \frac{-3}{|z^2|}}{\frac{-4}{|z^2|}} = \frac{1 - \frac{-3}5}{\frac{-4}5} = -2 Das bedeutet aber auch, dass (z)(z)=2\frac{\Im(z)}{\Re(z)} = -2 sein muss. Weiter ist natürlich (z)2+(z)2=z2=5    4(z)2+(z)2=5    (z)=±1;(z)=2\Im(z)^2 + \Re(z)^2 = |z|^2=5 \\ \implies4 \Re(z)^2 + \Re(z)^2= 5 \\ \implies \Re(z) = \pm1; \quad \Im(z) = \mp 2 Die beiden Lösungen für z1,2z_{1,2} sind also z1=1j2;z2=1+j2z_1 = 1 - j \cdot 2; \quad z_2 = -1 + j \cdot 2 Gruß Werner

Avatar von 49 k

Ich habe eher gedacht das man das Argument ohne den Arkustanges von Imaginär durch Realteil bestimmen kann. Da ich hier nicht den Taschenrechner verwenden darf.

Deswegen hatte ich die Aufgabenstellung so formuliert gehabt.

VG :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage