Wie bestimmt man die Koordinatenabbildung und deren Inverse?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie $${ K }_{ B }\quad und\quad { K }_{ B }^{ -1 }$$

von $$V\quad =\quad \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}|a,b,c\in R \right\} \quad mit\quad der\quad Basis\quad B\left\{ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right\}$$

Problem/Ansatz:

$${ K }_{ B }:\quad V\quad \rightarrow \quad { R }^{ 3 },\quad \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}\mapsto \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) für\quad x\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}$$

Nun Beginnen die Probleme:

Stelle ich nun eine Matrix zum Lösen mit Gauß auf benötige ich ja einen R^4 Vektor und keinen R^3, aber die Dimension der Basis von V ist ja 3 und somit auch die Dimension von V.

Könntet ihr mir vielleicht K_B sowie das Inverse einmal vorrechnen?

Vielen Dank

Comments

Es würde auch nur reichen, mir zu erklären, wie ich die Matrix aufstellen muss/darf

Answer 1

$$ x\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}$$

$$ <=> \begin{pmatrix} -x+2z & 0 \\ -2y & x-z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & c \end{pmatrix}$$

also y=-0,5b und x=2c+a  und  z=a+c .

V und R^3 sind beide 3-dimensional. Die 0 in der rechten oberen Ecke der Matrix kannst du ignorieren.