Welche der folgenden Abbildungen sind R-Vektorraum-homomorphismen, welche nicht?

Question

Hier geht es um die R-Vektorräume V := ℝ³ und W := ℝ². Welche der folgenden Abbildungen sind
R-Vektorraumhomomorphismen, welche nicht? (Behauptung und Beweis.)
(a) α : V → W, für alle (x, y, z) ∈ V sei (x, y, z)^α := (x + y, −2 · z).
(b) β : W → V , für alle (a, b) ∈ W sei (a, b)^β := (0, a − b, b + 1).

Mein Ansatz:

a)

α: ℝ³ → ℝ² mit (x,y,z)^α = (x+y, -2z)

Für alle (x,y,z),(u,v,w) ∈ ℝ³ gilt:

(x,y,z)^α + (u,v,w)^α = (x+u,y+v,z+w)^α = (x+u+y+v, -2z-2w) = (x+y, -2z) + (u+v, -2w) = (x,y,z)^α + (u,v,w)^α

Und für alle (x,y,z) ∈ ℝ³ und alle λ ∈ ℝ gilt:

(λ(x,y,z))^α = (λx,λy,λz)^α = (λx+λy, -λ2z) = λ(x+y, -2z) = (λ(x,y,z))^α

also Vektorraumhomomorphismus.

b)

β: ℝ² → ℝ³ mit (a,b)^β = (0, a-b, b+1)

Für alle (a,b), (c,d) ∈ ℝ² gilt:

(a,b)^β + (c,d)^β = (a+c, b+d)^β = ( 0+0, a+c-b-d, b+d+1+1) = ( 0, a-b, b+1) + ( 0, c-d, d+1) = (a,b)^β + (c,d)^β

und für alle (a,b) ∈ ℝ² und alle λ ∈ ℝ gilt:

(λ(a,b))^β = (λa,λb)^β = (λ0, λa-λb, λb-λ1) = λ(0, a-b, b+1) = (λ(a,b))^β

also Vektorraumhomomorphismus.

Hier bin ich mir nicht ganz sicher wegen "b+1"

Answer 1

Bis auf:

Hier bin ich mir nicht ganz sicher wegen "b+1"

hast du alles richtig gemacht.

Das 2. ist in der Tat kein Hom.

denn ß(2,2) ≠  2*ß(1,1).

Comments

Guten morgen mathef!^^

Wie kann ich denn genau zeigen/beweisen, dass es kein Homomorphismus ist? Dann müsste doch eigentlich eine der beiden Eigenschaften nicht zutreffen dürfen, da wir ja aber davon ausgehen, dass alles richtig ist - ist es irgendwie Paradox und ich bin mal wieder verwirrt.^^

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Hab ich doch notiert:

Es reicht zu zeigen: ß(2,2) ≠  2*ß(1,1).

Denn wäre es ein Hom. dann müsste für

jedes x und alle (a,b) gelten  ß(x*(a,b)) = x*ß(a,b)

Wenn es aber für x=2 und a=b=1 schon nicht gilt, kann

es kein Hom. sein.

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Ah Ok, vielen lieben Dank!^^