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f:R^2-->R^3

 

(x,y)-->(x+2y,2x(1-y),3x^2)

 

g:R^3-->R^2,

(x,y,z)-->((x+3z)/2 , x-y)
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Eine Abbildung f: U→W heißt linear, wenn für beliebige u, v ∈ U gilt:

f(u+v) = f(u)+f(v)

und für u∈U, k∈K (dem Grundkörper)

f(ku) = kf(u)

 

Für Aufgabe 1 rechnet man also f((x,y)+(v,w)) aus:

f((x,y)+(v,w)) = f((x+v, y+w))
= ((x+v)+2*(y+w), 2*(x+v)*(1-(y+w)), 3(x+v)²)
= ((x+v)+2*(y+w), 2*x*(1-y) + 2*v*(1-w) - 2*(xw+vy), 3x²+3v²+6xv)
Bilde jetzt die Differenz zu f(x,y)+f(v,w). Wenn die Abbildung linear ist, dann gilt

f(x+v, y+w) - (f(x,y)+f(v,w)) = 0

f(x,y) + f(v,w) = (x+2y, 2x(1-y), 3x²) + (v+2w, 2v(1-w), 3v²) =

Also gilt

f(x+v, y+w) - (f(x,y)+f(v,w)) = (0, -2(xw+yv), 6xv) ≠ 0

Die Abbildung ist nicht linear.

 

Aufgabe 2:

Zu zeigen: g(x+u, y+v, z+w) = g(x,y,z) + g(u,v,w)

g(x+u, y+v, z+w) = (((x+u)+3(z+w))/2, (x+u)-(y+v))
= ((x+3z)/2 + (u+3w)/2, (x-y)+(u-v))
= ((x+3z)/2, x-y) + ((u+3w)/2, u-v)
= f(x,y,z) + f(u,v,w)

also ist die Abbildung linear.
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