Aufgabe:
Seien R ein kommutativer Ring und a,b,c,d∈R. Sei $$A := \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) \in R^{2\times 2}$$
Sei weiter $$B := \left(\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right) \in R^{2\times 2}$$
(a)
Berechnen Sie die Matrizen AB und BA.
(b)
Zeigen Sie, dass A eine Inverse hat, wenn $$ad -bc \in R^\times$$ ist.
(c)
Sei umgekehrt $$C = \left(\begin{array}{cc}s&t\\u&v\end{array}\right) \in R^{2\times 2}$$ Inverse von A. Zeigen Sie, dass dann (ad−bc)(sv−tu)=1 ist. (Insbesondere ist also $$ad -bc \in R^\times$$)
Tipp: Schreiben Sie das Matrixprodukt AC mit Hilfe der Einträge von A und C hin. Nutzen Sie dann aus, dass für die Einheitsmatrix $$E_2 = (\delta_{ij})$$ gilt $$\delta_{11}\delta_{22} - \delta_{12}\delta_{21} =1$$.
Problem/Ansatz:
ich bitte Sie um Hilfe mit der folgenden Aufgabe, oder eine Idee auf eine geeignete Vorgehensweise. Vielen Dank im Voraus!
