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Aufgabe:


Sei n∈N und Sn die symmetrische Gruppe auf n−−.

(a)
Sei π∈Sn und z die Anzahl der disjunkten Zykel von π (hier werden die 1-Zykel mitgezählt). Zeigen Sie, dass dann


sgn(π) = (-1)^{n-z};


ist.

(b)
Zeigen Sie, dass die Teilmenge


An:={π∈Sn ∣ sgn(π)=1}⊆Sn


eine Untergruppe von Sn ist.

(c)
Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente |An| der Untergruppe An aus Teil (b).


Problem/Ansatz:

Hallo, ich brauche Hilfe mit der folgenden Aufgabe, vielen Dank im Voraus!

von

b) Zeige sign(.) ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen Sn und {1,-1}. Was ist der Kern? Ist Kern eine Untergruppe?

c) Lagrange theorem besagt |Sn|=[Sn:An]*|An|. Mit b) kannst du dann Index [Sn:An] ausrechnen, da es bereits |Sn:kern(sign)|=|im(sign)| gilt.

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