Aufgabe:
$$Gegeben\quad sei\quad die\quad lineare\quad Abbildung:\\ K:\quad { R }_{ \le 2 }[x]\quad \to \quad { R }_{ \le 2 }[x];\quad a{ x }^{ 2 }+b{ x }+c\quad \mapsto \quad (a+b){ x }^{ 2 }+a-b.\\ (a)\quad Bestimmen\quad Sie\quad die\quad darstellende\quad Matrix\quad { K }_{ B }\quad von\quad K\quad bzwgl.\quad der\quad Basis\\ \qquad \qquad \qquad B\quad =\quad \left\{ { x }^{ 2 }+1,\quad -2x,\quad x-1 \right\} \\ (b)\quad Bestimmen\quad Sie\quad Bild({ K }_{ B }),\quad Bild(K)\quad und\quad dim(Bild(K)).$$
Problem/Ansatz:
$$(a)\quad Bestimmen\quad Sie\quad die\quad { K }_{ B }\quad und\quad den\quad Kern({ K }_{ B }).\\ \\ Dabei\quad habe\quad ich\quad zuerst\quad die\quad Koordinantenabbildung\quad ({ KO }_{ B })\quad bzgl\quad der\quad Basis\quad B\quad bestimmt.\\ { KO }_{ B }\quad =\quad { R }_{ \le 2 }\to { R }^{ 3 };\quad a{ x }^{ 2 }+bx+c\quad \mapsto \quad \left( \begin{matrix} a \\ \frac { a-b-c }{ 2 } \\ a-c \end{matrix} \right) \quad \\ und\quad dann\quad die\quad Bilder\quad K({ b }_{ i })\quad in\quad die\quad Koordinatenabbildung\quad { KO }_{ B }\quad eingesetzt\quad =>\quad { KO }_{ B }(K({ b }_{ i })).\\ Dabei\quad habe\quad ich\quad drei\quad Vektoren\quad herausbekommen,\quad die\quad die\quad Spalten\quad der\quad darstellenden\quad Matrix\quad bilden:\\ { K }_{ B }\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ \frac { 1 }{ 2 } & -2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ Für\quad den\quad Kern\quad habe\quad ich\quad ersteinmal\quad die\quad Matrix\quad { K }_{ B }\quad auf\quad normierte\quad Zeilenstufenform\quad gebracht:\\ { K }_{ B }\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \\ Daraus\quad folgt\quad { x }_{ 2 }=-2{ x }_{ 3 },\quad somit\quad habe\quad ich\quad \quad \\ \left( \begin{matrix} 0 \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right) ,\quad also\quad k*\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ Nun\quad multipliziere\quad ich\quad die\quad Menge\quad mit\quad den\quad Basisvektoren\quad \\ k*\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} { b }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { b }_{ 3 } \end{matrix} \right) =k*0*{ b }_{ 1 }+k*1*{ b }_{ 2 }+k*1*{ b }_{ 3 }=k*1*{ b }_{ 2 }+k*1*{ b }_{ 3 }=k*(-2x+x-1)=k*(-x-1).\\ \\ Würde\quad dies\quad bisher\quad stimmen?\quad Wenn\quad nicht,\quad wäre\quad eine\quad genauere\quad erklären\quad sehr\quad nett.\\ \\ (b)\\ Hier\quad benötige\quad ich\quad \quad hilfe,\quad denn\quad ich\quad habe\quad keine\quad Ahnung.\\$$
Ich habe versucht es detailliert aufzuschreiben, ohne zu viel weglassen zu müssen, eure geschulden Augen sehen die Fehler sicher sofort. Bei Fragen, antworte ich so schnell wie möglich.
Bedanke mich im Voraus.
