Kern, Bild, einer linearen Abbildung bestimmen

Question

Aufgabe:

$$Gegeben\quad sei\quad die\quad lineare\quad Abbildung:\\ K:\quad { R }_{ \le 2 }[x]\quad \to \quad { R }_{ \le 2 }[x];\quad a{ x }^{ 2 }+b{ x }+c\quad \mapsto \quad (a+b){ x }^{ 2 }+a-b.\\ (a)\quad Bestimmen\quad Sie\quad die\quad darstellende\quad Matrix\quad { K }_{ B }\quad von\quad K\quad bzwgl.\quad der\quad Basis\\ \qquad \qquad \qquad B\quad =\quad \left\{ { x }^{ 2 }+1,\quad -2x,\quad x-1 \right\} \\ (b)\quad Bestimmen\quad Sie\quad Bild({ K }_{ B }),\quad Bild(K)\quad und\quad dim(Bild(K)).$$

Problem/Ansatz:

$$(a)\quad Bestimmen\quad Sie\quad die\quad { K }_{ B }\quad und\quad den\quad Kern({ K }_{ B }).\\ \\ Dabei\quad habe\quad ich\quad zuerst\quad die\quad Koordinantenabbildung\quad ({ KO }_{ B })\quad bzgl\quad der\quad Basis\quad B\quad bestimmt.\\ { KO }_{ B }\quad =\quad { R }_{ \le 2 }\to { R }^{ 3 };\quad a{ x }^{ 2 }+bx+c\quad \mapsto \quad \left( \begin{matrix} a \\ \frac { a-b-c }{ 2 } \\ a-c \end{matrix} \right) \quad \\ und\quad dann\quad die\quad Bilder\quad K({ b }_{ i })\quad in\quad die\quad Koordinatenabbildung\quad { KO }_{ B }\quad eingesetzt\quad =>\quad { KO }_{ B }(K({ b }_{ i })).\\ Dabei\quad habe\quad ich\quad drei\quad Vektoren\quad herausbekommen,\quad die\quad die\quad Spalten\quad der\quad darstellenden\quad Matrix\quad bilden:\\ { K }_{ B }\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ \frac { 1 }{ 2 } & -2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{matrix} \right) \\ Für\quad den\quad Kern\quad habe\quad ich\quad ersteinmal\quad die\quad Matrix\quad { K }_{ B }\quad auf\quad normierte\quad Zeilenstufenform\quad gebracht:\\ { K }_{ B }\quad =\quad \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \\ Daraus\quad folgt\quad { x }_{ 2 }=-2{ x }_{ 3 },\quad somit\quad habe\quad ich\quad \quad \\ \left( \begin{matrix} 0 \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right) ,\quad also\quad k*\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ Nun\quad multipliziere\quad ich\quad die\quad Menge\quad mit\quad den\quad Basisvektoren\quad \\ k*\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} { b }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { b }_{ 3 } \end{matrix} \right) =k*0*{ b }_{ 1 }+k*1*{ b }_{ 2 }+k*1*{ b }_{ 3 }=k*1*{ b }_{ 2 }+k*1*{ b }_{ 3 }=k*(-2x+x-1)=k*(-x-1).\\ \\ Würde\quad dies\quad bisher\quad stimmen?\quad Wenn\quad nicht,\quad wäre\quad eine\quad genauere\quad erklären\quad sehr\quad nett.\\ \\ (b)\\ Hier\quad benötige\quad ich\quad \quad hilfe,\quad denn\quad ich\quad habe\quad keine\quad Ahnung.\\$$

Ich habe versucht es detailliert aufzuschreiben, ohne zu viel weglassen zu müssen, eure geschulden Augen sehen die Fehler sicher sofort. Bei Fragen, antworte ich so schnell wie möglich.

Bedanke mich im Voraus.

Comments

Hi K_B habe ich auch so. Allerdings ist nach Wolfram die Zeilenstufenform $$\begin{pmatrix} 1 &0&0\\ 0 &1 &-1/2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$ Somit $Kern(LO_B)=\mathbb R \begin{pmatrix} 0\\ 1/2\\ 1 \end{pmatrix}$

Um Dimension des Bildes zu bestimmen hilft die Dimensionsformel.

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Der Kern kann doch aber kein Vektor sein?

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Das sind die Koordinaten der Elemente des Kerns bzgl. Basis B.

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Ist Deine Abbildungsvorschrift richtig ?

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Ja die ist richtig.

Nun aber mal was ganz anderes.

Kann es sein, dass ich den Kern von K und nicht von k_B berechnet habe?

Denn der Kern von K_B sollte ein Vektor sein und der Kern von K müsste ein Polynom sein

Answer 1

Hallo

DeineDreiecksform ist in der zweiten Zeile falsch. Kern sind dieselben,einmal als Vektor,einmal als Polynomial geschrieben.

Gruß lul