Wende Logarithmusgesetze an: log_b (x(y+z))

Question

Aufgabe:

Eigentlich komme ich mit den Aufgaben ganz gut zurecht, aber bei dieser bin ich mir nicht sicher:

log_b (x(y+z))

Problem/Ansatz:

log_b (xy) + log_b (xz)

Noch eine Frage: Es gilt ja: für x >0,  y>0 z>0 , b>0, b≠1

Warum darf b nicht = 1 sein?

Answer 1

der Logarithmus ist definiert durch:

b^x=a   ⇔  x=log_b(a)

Wenn wir z. B. folgende Gleichung haben:

1^x=25  ist die Gleichung nicht lösbar, weil 1^x bei jedem x∈ℝ immer noch 1 ist.

Answer 2

log1 (a) ist gleichbedeutend mit 1^x= a

Da aber 1^x = 1 für alle x ∈ R gilt, macht der log1 keinen Sinn. Denn nur für a=1 gibt es eine Lösung.

Answer 3

log_b (x(y+z)

Problem/Ansatz:

log_b (xy) + log_b (xz)

Das ist völlig falsch. Natürlich darfst du x(y+z) zu xy+xz ausmultiplizieren, aber das nutzt dir gar nichts, denn

log (c+d) ist NICHT log c + log d.

Vielmehr gilt  log c + log d = log (c*d).

Du kannst also log (x(y+z))

- zu welcher Basis b auch immer - nur in die Form log x + log(y+z) umschreiben.

Answer 4

Es ist$$\log_b\left(x\cdot\left(y+z\right)\right)=\log_b\left(\left|x\right|\right)+\log_b\left(\left|y+z\right|\right)\quad\text{und}\quad x\cdot\left(y+z\right)\ne0.$$Falls die Definitionsmengen für x, y und z nicht bereits vorher eingeschränkt werden, sind etwa auch negative x zusammen mit negativen (y+z) möglich. Dies bleibt auch nach der Umformung möglich, wenn man, wie hier, Beträge verwendet.