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Aufgabe:

Eigentlich komme ich mit den Aufgaben ganz gut zurecht, aber bei dieser bin ich mir nicht sicher:

log_b (x(y+z))


Problem/Ansatz:

log_b (xy) + log_b (xz)

Noch eine Frage: Es gilt ja: für x >0,  y>0 z>0 , b>0, b≠1

Warum darf b nicht = 1 sein?

von

4 Antworten

+2 Daumen

Hallo,

der Logarithmus ist definiert durch:

b^x=a   ⇔  x=log_{b}(a)

Wenn wir z. B. folgende Gleichung haben:

1^x=25  ist die Gleichung nicht lösbar, weil 1^{x} bei jedem x∈ℝ immer noch 1 ist.

von 11 k
+2 Daumen

log1 (a) ist gleichbedeutend mit 1^x= a

Da aber 1^x = 1 für alle x ∈ R gilt, macht der log1 keinen Sinn. Denn nur für a=1 gibt es eine Lösung.

von 23 k
+2 Daumen

log_b (x(y+z)

Problem/Ansatz:

log_b (xy) + log_b (xz)

Das ist völlig falsch. Natürlich darfst du x(y+z) zu xy+xz ausmultiplizieren, aber das nutzt dir gar nichts, denn

log (c+d) ist NICHT log c + log d.

Vielmehr gilt  log c + log d = log (c*d).

Du kannst also log (x(y+z))

- zu welcher Basis b auch immer - nur in die Form log x + log(y+z) umschreiben.

von
+1 Punkt

Es ist$$\log_b\left(x\cdot\left(y+z\right)\right)=\log_b\left(\left|x\right|\right)+\log_b\left(\left|y+z\right|\right)\quad\text{und}\quad x\cdot\left(y+z\right)\ne0.$$Falls die Definitionsmengen für x, y und z nicht bereits vorher eingeschränkt werden, sind etwa auch negative x zusammen mit negativen (y+z) möglich. Dies bleibt auch nach der Umformung möglich, wenn man, wie hier, Beträge verwendet.

von 14 k

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