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Aufgabe:

Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und identisch verteilt.
Gegeben X und Y sind gleichverteilt auf {1,2, ... ,n}, d.h. ℙ(X=k) = ℙ(Y=k) =\( \frac{1}{n} \) für alle k = 1, ... ,n, zeigen Sie:

Ε[|X-Y|] = \( \frac{(n-1)(n+1)}{3n} \) , wobei E der Erwartungswert ist.


Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

komme bei der Aufgabe nicht weiter.

Folgendes habe ich:

Da X, Y unabhängig sind, folgt p(x,y) = p(x) * p(y) = \( \frac{1}{n} \) * \( \frac{1}{n} \) = \( \frac{1}{n^2} \) für alle k=1, ... ,n

Damit gilt dann:

Ε[|X-Y|] = \( \sum\limits_{(x,y): p(x,y)>0}^{}{|x-y| * \frac{1}{n^2}} \) = \( \frac{1}{n^2} * \sum\limits_{(x,y): p(x,y)>0}^{}{|x-y| } \)

Hier komme ich nicht weiter (,falls es bis hierher überhaupt korrekt ist). Wie bekomme ich den Betrag weg?

Freue mich über Antworten.
Beste Grüße!

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Sieht alles richtig aus, mit den Summen würde ich aber auch nicht weiterwissen. Stattdessen schlage ich einen Ansatz mit etwas Kombinatorik vor:

Welche möglichen Werte kann \(d=|x-y|\) annehmen für \(x,y\in\{1,2,...,n\}\)? Offensichtlich ist \(d\in\{0,1,...,n-1\}\)

Wieviele Möglichkeiten gibt es für \(d=0\)?
\(n\) Möglichkeiten natürlich.

Für \(d=1\)?
Für die Auswahl der erste Ziffer gibt es n Möglichkeiten, die zweite Ziffer muss dann einer der Nachbarn sein, also gibt es nur 2 Möglichkeiten. Allerdings haben die erste und die letzte Ziffer (1 und n) jeweils nur einen gültigen Nachbarn, also müssen wir 2*1 abziehen. Ergibt also: \(2n-2\cdot1\)

Für \(d=2\)?
Für die erste Ziffer wiederum n Möglichkeiten, die zweite Ziffer muss dann einer der um 2 entfernten Nachbarn sein, also auch wieder 2 Möglichkeiten. Allerdings haben die ersten beiden Ziffern an jedem "Rand" (1,2, n-1 und n) jeweils nur einen gültigen Nachbarn, also müssen wir 2*2 abziehen. Ergibt also: \(2n-2\cdot2\)

Für ein beliebiges \(d\in\{1,2,...,n-1\}\) ergeben sich also jeweils \(2n-2d\) Möglichkeiten, diese Differenz zu erhalten. Die Möglichkeiten für \(d=0\) können ignoriert werden, da diese eh nichts zur Summe beitragen.

Damit ergibt sich zusammmen mit deiner Erkenntnis, dass \(p(x,y)=\frac{1}{n^2}\) für alle \(x,y\in\{1,2,...,n\}\) ist:

$$\begin{align}\frac {1}{n^2}\sum_{(x,y):p(x,y)>0}|x-y|&=\frac {1}{n^2}\sum_{d=1}^{n-1}d\cdot (2n-2d)\\[10pt] &=\frac {1}{n^2}\left(2n\cdot\sum_{d=1}^{n-1}d-2\cdot \sum_{d=1}^{n-1} d^2\right)\\[10pt] &=\frac{1}{n^2}\left(2n\cdot \frac{(n-1)n}{2}-2\cdot\frac{(n-1) n (2(n-1)+1)}{6}\right)\\[10pt] &=n-1 -\frac{(n-1)(2n-1)}{3n}\\[10pt] &=\frac{3n^2-3n \quad - \quad2n^2+n+2n-1}{3n}\\[10pt] &=\frac{n^2-1}{3n}=\frac{(n-1)(n+1)}{3n} \end{align}$$

vor von

Das ist echt eine super Antwort (inkl. Erklärung). Danke!

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