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Aufgabe:

Beweisen Sie die folgende Ungleichung:$$\frac { \operatorname { ln } ( x ) + \operatorname { ln } ( y ) } { 2 } \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right )$$Für alle x,y >0.

Verstehe hier die Aufgabe nicht ganz. Kann das Ding umformen wie ich will, komme auf keine Lösung.

von

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Hallo,

Wenn Du die Logarithmus- und Potenzgesetze drauf hast, dann sollte das nicht allzu schwer werden.

$$\frac { \operatorname { ln } ( x ) + \operatorname { ln } ( y ) } { 2 } \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right )$$ Logarithmusgesetz anwenden:$$\frac { \ln(x\cdot y) } { 2 } \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right )$$$$\ln\left[(x\cdot y)^{\frac{1}{2}}\right] \leq \operatorname { ln } \left( \frac { x + y } { 2 }\right ) \quad |e^{(...)}$$ Quadrieren:$$(x\cdot y)^{\frac{1}{2}} \leq  \frac { x + y } { 2 }  \quad |\uparrow^2$$$$x\cdot y \leq  \frac { (x + y)^2 } { 4 }  \quad |\cdot 4$$$$4 x y \leq  (x + y)^2$$$$4\cdot x\cdot y \leq  x^2+2xy+y^2 \quad |-4xy$$$$0 \leq  x^2-2xy+y^2$$ Das ist dann wieder die 2. Binomische Formel:$$0 \leq  (x-y)^2$$ Dieser Ausdruck kann niemals \(<0\) werden, aufgrund des Quadrats.

von 14 k

Also ist ln(xy)/2 das selbe wie ln(xy)^1/2??

Finde dieses Gesetz nicht in meinem Skript...

Es gilt \(\log_{b}{x^n}=n\cdot \log_{b}{x}\) - komisch, dass das nicht in deinem Skript steht.

Jetzt hab ich es verstanden. Vielen Dank! Hätte ich einfach 1/2 * ln (xy) aufgeschrieben hätte ich es wahrscheinlich auch selber hinbekommen... Ein Zeichen dass ich schon zu lange am Schreibtisch sitze... Wie auch immer, danke nochmal.

In welcher Klasse bist du? Ab einer gewissen Stufe  musst du i. d. R. alles beweisen (oder zu trivial?). Die Regel lässt sich ziemlich leicht den Potenzregeln ableiten...

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