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Aufgabe:

In einer Zahlenmauer ergibt die Summe zweier benachbarter Steine die Zahl auf dem darüber
liegenden Stein. In die gegebene Zahlenmauer sollen für a, b und c Stammbrüche eingesetzt werden,
also Brüche mit dem Zähler 1 und einer natürlichen Zahl größer als 1 als Nenner.


Ermitteln Sie alle Stammbrüche a, b und c, welche die Zahlenmauer korrekt füllen und bei denen
a > c gilt. Begründen Sie, dass es keine weiteren Lösungen geben kann.

                                                                 1

                                                        ??          ??

                                                a            b              c

Mich bringt der Part "a > c" sehr durcheinander in meinen Überlegungen.
Ich bräuchte einen Ansatz wie ich am besten an die Aufgabe heran gehe. Beziehungsweise wie ich begründe, dass es keine anderen Lösungen geben kann.
Vielen Dank schon im voraus :)

von

Was ist denn eine korrekt gefüllte Zahlenmauer?

(a+b)+(b+c) = a + 2b + c = 1

a = 1/2 ; b = 1/5 ; c = 1/10

a = 1/2 ; b = 1/6 ; c = 1/6

a = 1/2 ; b = 1/8 ; c = 1/4

a = 1/3 ; b = 1/4 ; c = 1/6

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fl+%2B+2%2Fm+%2B+1%2Fn+%3D+1,l%3E0,m%3E0,n%3E0,n%3El

Ich danke schon einmal für den Input. Gilt die Gleichung a+2b+c=1 als ausreichendes Mittel zur Ermittlung?

Was ist denn der Grund warum es nicht mehr Lösungen geben kann?

1 Antwort

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Hallo,

Die 1 berechnet sich letztendlich aus:$$a +2b + c = 1$$\(a\), \(b\) und \(c\) sollen Stammbrüche sein, d.h. von der Form \(1/n\). Man kann also schreiben:$$\frac 1u + \frac2v + \frac 1w = 1 \quad u,v,w \in \mathbb{N}$$und jede der Zahlen muss größer als 1 sein. Das forme ich um:$$\begin{align}\frac 1u + \frac2v + \frac 1w &= 1 \\vw + 2uw + uv &= uvw \\ 2uw &= uvw - vw  - uv \\ &= v(uw - w -u) \\ \implies v &= \frac{2uw}{uw - w - u}\end{align}$$aus der Bedingung, dass \(a \gt c\) sein soll, folgt \(u \lt w\). Man muss also nur diese Fälle untersuchen. Dazu eine Tabelle für \(v\) in Abhängigkeit von \(u\) und \(w\). In jeder Spalte ist \(u\) konstant und in jeder Zeile das \(w\).:$$\begin{array}{r|rrrr} & u=2 & 3 & 4 \\ \hline w=3 & 12 \\ 4 & 8 & -\\ 5 & - & - & -\\ 6 & 6 & 4 & -\\ \vdots \\ 10& 5& - & - \\ 11& - & - & - \\ 12& - & - & 3\end{array}$$

An sechs Positionen stehen ganze Zahlen. Dort, wo der Wert für \(v\) keine ganze Zahl ist, habe ich den Eintrag weg gelassen. Natürlich ist die Tabelle nicht unendlich groß und es stellt sich die Frage, ob nicht irgendwo anders ganze Zahlen auftauchen. Betrachten wir dazu die Spalte für \(u=2\). In diesen Fall ist$$v_{u=2}(w) = \frac{4w}{2w - w - 2} = \frac{4w}{w-2}$$Der Grenzwert für \(v_{u=2}\) ist$$\lim_{w \to \infty} v_{u=2}(w)= \frac{4w}{w-2} = 4$$ \(v\) wird aber nie identisch zu 4 werden, und da in der Liste oben bereits die 5 auftaucht, also der nächst größere Wert, und \(v\) mit wachsendem \(w\) immer kleiner wird, wird in dieser Spalte auch nie wieder eine ganze Zahl erscheinen.

In der Spalte für \(u=3\) ist es ähnlich. Der Grenzwert für \(v(u=3)\) ist $$\lim_{w \to \infty} v_{u=3}(w) = \frac{3w}{w - 3} = 3$$ und die nächst größere Zahl (die 4) steht schon in der Tabelle. Auch in dieser Spalte wird es also keine weiteren Ergebnisse mehr geben. Für die Spalten mit \(u=4\) sieht es so aus:$$\lim_{w \to \infty} v_{u=4}(w) = \frac{8w}{3w - 4} = \frac 83, \quad \quad \left \lceil \frac 83 \right \rceil = 3$$Die kleinst mögliche ganzzahlige Lösung wäre hier eine 3. Und die haben wir schon (s.o.).

Und für \(u \gt 4\) ist der Grenzwert und damit die kleinst mögliche ganze Zahl:$$\lim_{w \to \infty} v_{u>4}(w) = \frac{2uw}{(u-1)w - u} = \frac {2u}{u-1}, \quad \quad \left \lceil \frac {2u}{u-1} \right \rceil = u \gt 4$$Der nächst kleinere Wert für \(v\) wäre aber $$v(u=5,w=6) = \frac{2\cdot 5 \cdot 6}{5 \cdot 6 - 6 - 5} = \frac{60}{19} \lt 5$$ Alle weiteren Werte für \(v\) sind kleiner. Und da zwischen 4 und 5 keine ganzen Zahlen mehr liegen, gibt es auch keine weiteren Ergebnisse. Es bleibt bei $$\begin{align} a = \frac 12, \quad b = \frac 1{12}, \quad c=\frac 13\end{align}$$ bis $$\begin{align} a = \frac 14, \quad b = \frac 1{3}, \quad c=\frac 1{12}\end{align}$$ (siehe Tabelle oben für die anderen vier Lösungen).

Gruß Werner

von 19 k

kann man das auch ohne den Grenzwert beweisen?

kann man das auch ohne den Grenzwert beweisen?

Ja, wenn man sich z.B. den Ausdruck für \(v_{u=2}(w)\) ansieht$$v_{u=2}(w) = \frac{4w}{w-2}$$Dann findest Du die ganzzahligen Werte bis \(w=12\) oben in der Tabelle. Und man kann sich auch ohne Grenzwert-kenntnisse überlegen, das der Ausdruck immer größer als 4 bleibt, egal wie groß \(w\) ist - oder? Kürze ggf. durch \(w\).

Das gilt für die anderen Ausdrücke entsprechend.

Danke!

Und gibt es noch mehr Lösungen als die 4, die in der Tabelle stehen und die 2, die Sie ausgerechnet haben?

Und gibt es noch mehr Lösungen ...

Nun - ich meinte oben belegt zu haben, dass es genau die sechs Lösungen, die aus der Tabelle folgen, gibt. Und keine weiteren.

Was ist daran unklar?

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