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Aufgabe:

$$ \frac{x^2-2x-15}{x+4} $$


Problem/Ansatz:

Bitte mit genauem Rechenweg, ich hab es mit der Polynomdivision versucht doch kommt bei mir was anderes raus als in der Musterlösung


Danke im Voraus

von

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Beste Antwort

Hallo,

wie schon mehrfach in den Antworten gezeigt ist \((x^2-2x-15):(x+4)=x-6+\frac{9}{x+4}\) Du löst also:$$\int_{}^{}x-6+\frac{9}{x+4} \text{ dx}$$$$9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}+\int_{}^{}x\text{ dx}-\int_{}^{}6\text{ dx}$$ Wir betrachten nun erst einmal nur \(9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}\), da der Rest ziemlich triviale Ergebnisse liefert:$$9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}$$ Es lohnt sich nun \(t:=x+4\) zu substituieren. Beachte dabei, dass \(t'=1\), weshalb \(\text{dx}=\text{dt}\). Daraus folgt:$$9\int_{}^{}\frac{1}{t} \text{ dt}$$ Ihr solltet besprochen haben, dass das ein Standardintegral ist und \(9\int_{}^{}\frac{1}{t} \text{ dt}=9\ln(t)+C\) ergibt. Nun addierst du die anderen gelösten unbestimmten Integral dazu und resubstituierst \(t:=x+4\):$$F(x)=9\ln(x+4)+\frac{1}{2}x^2-6x+C$$ Du musst nun noch die Betragsstriche bei \(\ln(...)\) machen und mit ein wenig Make-up kommst Du auf die Musterlösung.

von 14 k

"Make-up"

:) +1

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(x^2  - 2x  - 15) : (x + 4)  =  x - 6 + 9/(x + 4)
x^2  + 4x     
———————————————
      - 6x  - 15
      - 6x  - 24
      ——————————
              9

Stimmt das mit deiner oder der Musterlösung überein?

von 290 k
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Polynomdivision war eine gute Idee: Ergebnis: 9/(x+4)+x-6

Also ist eine Stammfunktion

9·ln(x+4)+x2/2-6x+c.

von 58 k

dann scheint mein Ergebnis richtig zu sein und die Musterlösung falsch die lautet:


\( \frac{x^2-12x-64}{2} \)+9ln(x+4)

Die Lösung stimmt.

Da es viele Stammfunktionen gibt, die sich nur um einen konstanten Summanden unterscheiden, können auch äußerlich verschiedene Antworten richtig sein.

wie kann das sein das die beiden Lösungen stimmen wenn ich als Bsp. in beide für X=2 einsetze bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse. Könnten Sie mir das kurz erläutern?

@mathnewbie

woher kommt denn die -64 im Zähler bei dir? Die ist falsch.

Wenn man eine Stammfunktion ableitet, erhält man die Ausgangsfunktion. Ein konstanter Summand kann heißen, wie man will.

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Hallo,

Ergebnis der Polynomdivision:

(x^2  - 2x  - 15) : (x + 4)  =  x - 6  Rest  9 
x^2  + 4x     
———————————————
      - 6x  - 15
      - 6x  - 24
      ——————————
              9

------->

=∫x dx -∫ 6dx +∫ 9/(x+4) dx

=x^2/2 -6x + 9*ln|x+4|+C

von 86 k

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