Unbestimmtes Integral von Bruch (x2 - 2x -15)/(x+4)

Question

Aufgabe:

$$\frac{x^2-2x-15}{x+4}$$

Problem/Ansatz:

Bitte mit genauem Rechenweg, ich hab es mit der Polynomdivision versucht doch kommt bei mir was anderes raus als in der Musterlösung

Answer 1

wie schon mehrfach in den Antworten gezeigt ist $(x^2-2x-15):(x+4)=x-6+\frac{9}{x+4}$ Du löst also:$$\int_{}^{}x-6+\frac{9}{x+4} \text{ dx}$$$$9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}+\int_{}^{}x\text{ dx}-\int_{}^{}6\text{ dx}$$ Wir betrachten nun erst einmal nur $9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}$, da der Rest ziemlich triviale Ergebnisse liefert:$$9\int_{}^{}\frac{1}{x+4} \text{ dx}$$ Es lohnt sich nun $t:=x+4$ zu substituieren. Beachte dabei, dass $t'=1$, weshalb $\text{dx}=\text{dt}$. Daraus folgt:$$9\int_{}^{}\frac{1}{t} \text{ dt}$$ Ihr solltet besprochen haben, dass das ein Standardintegral ist und $9\int_{}^{}\frac{1}{t} \text{ dt}=9\ln(t)+C$ ergibt. Nun addierst du die anderen gelösten unbestimmten Integral dazu und resubstituierst $t:=x+4$:$$F(x)=9\ln(x+4)+\frac{1}{2}x^2-6x+C$$ Du musst nun noch die Betragsstriche bei $\ln(...)$ machen und mit ein wenig Make-up kommst Du auf die Musterlösung.

Comments

"Make-up"

:) +1

Answer 2

(x²  - 2x  - 15) : (x + 4)  =  x - 6 + 9/(x + 4)
x²  + 4x     
———————————————
      - 6x  - 15
      - 6x  - 24
      ——————————
              9

Stimmt das mit deiner oder der Musterlösung überein?

Answer 3

Polynomdivision war eine gute Idee: Ergebnis: 9/(x+4)+x-6

Also ist eine Stammfunktion

9·ln(x+4)+x²/2-6x+c.

Comments

dann scheint mein Ergebnis richtig zu sein und die Musterlösung falsch die lautet:

$\frac{x^2-12x-64}{2}$+9ln(x+4)

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Die Lösung stimmt.

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Da es viele Stammfunktionen gibt, die sich nur um einen konstanten Summanden unterscheiden, können auch äußerlich verschiedene Antworten richtig sein.

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wie kann das sein das die beiden Lösungen stimmen wenn ich als Bsp. in beide für X=2 einsetze bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse. Könnten Sie mir das kurz erläutern?

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@mathnewbie

woher kommt denn die -64 im Zähler bei dir? Die ist falsch.

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Wenn man eine Stammfunktion ableitet, erhält man die Ausgangsfunktion. Ein konstanter Summand kann heißen, wie man will.

Answer 4

Ergebnis der Polynomdivision:

(x²  - 2x  - 15) : (x + 4)  =  x - 6  Rest  9 
x²  + 4x     
———————————————
      - 6x  - 15
      - 6x  - 24
      ——————————
              9

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=∫x dx -∫ 6dx +∫ 9/(x+4) dx

=x²/2 -6x + 9*ln|x+4|+C