(Antwort überarbeitet)
demnach gilt also $${_GP} = {_GK_E}({_EP})$$genau so muss dann gelten$${_FP}={_FK_G}({_GP})$$Man kann jede Koordinatentransformation auch als Matrix-Vektor-Multiplikation mit einer zusätzlichen vierten Koordinaten schreiben. Es ist zum Beispiel$$\begin{aligned} {_FK_E} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot {_Ev} + \begin{pmatrix} -1\\4\\1 \\ 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1\\ 3 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot {_E\begin{pmatrix} v_x\\ v_y \\ v_z \\1 \end{pmatrix}} \end{aligned}$$Ich hänge eine Zeile darunter, die nur aus 0'en besteht und jede Position (hier \(v\)) bekommt eine 1 als vierte Koordinate. Am Ergebnis ändert sich gar nichts, aber man kann nun mit Matrizen und ihren Inversen rechnen. Die Matrix nenne ich genauso wie die Funktion - demnach ist hier:$${_FK_E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1\\ 3 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
(a) Bestimmen Sie F, G und \(_GK_F\).
Das Ziel soll es zunächst sein {_GK_F} zu bestimmen. Oben haben wir gesehen, dass man die Abbildung auch als Matrix-Vektor-Multiplikation schreiben kann. Ich nenne die Trasnformationsmatrizen genauso wie die Transformation selbst. Dann ist auch$$\begin{aligned} {_GK_F} &= {_GK_E} \cdot {_EK_F} \\ &= {_GK_E} \cdot ({_FK_E})^{-1}\end{aligned}$$ \({_FK_E}\) ist bereits bekannt (s.o.) bleibt noch {_GK_E} zu bestimmen. Die obige Gleichung \({_GP} = {_GK_E}({_EP})\) kann man genauso für die Punkte \(Q\), \(R\) und \(S\) schreiben. Man erhält: $${_G}\left( P,Q,R,S\right) = {_GK_E} \cdot {_E}\left( P,Q,R,S\right) \\ \implies {_GK_E} = {_G}\left( P,Q,R,S\right) \cdot \left( {_E}\left( P,Q,R,S\right)\right)^{-1}$$so lässt sich nun die Transformation von \(E\) nach \(G\) berechnen. Wichtig: unter jeder Position muss eine 1 stehen. Es ist$$\begin{aligned} {_GK_E} &=\begin{pmatrix}0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& -3& -7& -5\\ 0& 4& 2& 4\\ -1& -2& -1& -1\\ 1& 1& 1& 1\end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 0.3& -0.2& -0.6& -0.3\\ -0.1& -0.4& -1.2& -1.1\\ 0.1& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$Du siehst, dass in der letzten Zeile wieder die 0'en und die 1 unter der Position auftaucht. Das muss so sein!
Jetzt nur noch einsetzen und ausrechen:$$\begin{aligned} {_GK_F} &= {_GK_E} \cdot ({_FK_E})^{-1} \\ &= \begin{pmatrix}-0.3& -0.2& -0.6& -0.3\\ -0.1& -0.4& -1.2& -1.1\\ 0.1& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 0& -2& -1\\ 3& 1& 0& 4\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix}0.3& -0.2& 0& 0.8\\ 1.1& -0.4& 1& 0.6\\ -1.1& 0.4& -2& -0.6\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}\end{aligned}$$
Das Koordinatensystem \(F\) sind die Spaltenvektoren der Matrix \({_EK_F}\).$$\begin{aligned} {_EK_F} &= {_FK_E}^{-1} \\& = \begin{pmatrix}1& 0& 2& -1\\ -3& 1& -6& -1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix} \end{aligned}$$Dan ist \(F\):$$F: \quad \left\{ \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1\\ -3\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\ -6\\ 1\end{pmatrix} \right \}$$wie Du siehst habe ich den Positionsvektor nach vorne genommen. \(G\) folgt aus \({_EK_G}\); das erspar ich mir.
b) Zeigen Sie mittels der Geradentreue affiner Abbildungen, dass es kein affines Koordinatensystem H so gibt, dass ...
Es sind die drei Punkte gegeben:$${_Hu} = \begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 3\end{pmatrix}, \quad {_Hv} = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\end{pmatrix}, \quad {_Hw}= \begin{pmatrix}-3\\ -2\\ 5\end{pmatrix}$$diese drei Punkte liegen auf einer Gerade, da $${_Hw} = {_Hv} + t \cdot ({_Hu}-{_Hv}) \quad \text{für} \space t=3$$Versuche das für die 'transformierten' Punkte und Du wirst sehen, dass dies nicht geht.
Gruß Werner
