Nullstellen händisch bestimmen

Question

Aufgabe:

sagen wir mal, dass die Funktion 12x⁴+3x³+4x²+12x+3 gegeben ist. Wie würde ich die Nullstellen ohne den CAS-Rechner bestimmen? Die PQ-Formel geht nicht und ZPP (Zero Product Property) geht leider auch nicht. Wie würde man das lösen? Das dient nur zum Lernen. Die Funktion habe ich mir ausgedacht - ihr könnt natürlich auch jede andere x-beliebige Funktion nehmen.

Weiterhin habe ich noch eine Frage: Wäre die Funktion oben achsensymmetrisch oder punksymmetrisch? Keines von den beiden, oder? Weil wir einen ungeraden Exponenten haben (³)

Comments

Willst Du einfach nur rechnen oder willst du auch herleiten? Herleiten dauert!

Answer 1

Aufgaben in dieser Art werden durch Polynomdivision oder Horner-

Schema gelöst, wobei der 1. Nullstelle geraten wird.

Diese ist meistens ±1 oder ±2 ,±3 oder ±4 .

In bestimmten Fällen kommt auch das Newtonsche Näherungsvefahren zum Einsatz .(z.B)

Bei der dieser Aufgabe kannst Du diese Aufgabe über den Ansatz

y=x+1/16 lösen. Sowas wird aber nicht gelehrt.

Comments

Newton-Verfahren wird nicht gelehrt?

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Du verstehst mich nicht.  Der Ansatz y=x+1/16 ist kein Newton verfahren .

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Du meinst, der Ansatz wird nicht gelehrt?

Dein "(z.B)" verwirrt mich.

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mit z.B meine ich , das es noch andere Näherungsverfahren gibt.

Der Ansatz y=x+1/16 ist kein Newtonverfahren.

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Das ist mir bewusst.

Answer 2

Musst du algebraisch lösen?

Polynomdivision wäre eine Möglichkeit, bei deinem Beispiel allerdings fast sinnlos, da es keine trivialen NS gibt.

Wenn nicht, könntest du durch ein Iterationsverfahren die Nullstelle approximieren (z.B. Newtonverfahren).

Answer 3

Um Punktsymmetrie zum Ursprung zu überprüfen, muss f(-x) = -f(x) stimmen.

12(-x)⁴  + 3(-x)³ + 4(-x)² + 12(-x) + 3 ≠ -(12x⁴  + 3x³ + 4x² + 12x + 3)

=> nicht punktsymmetrisch

Jetzt überprüfst du, ob f(x) = f(-x)gilt.

12(-x)⁴  + 3(-x)³ + 4(-x)² + 12(-x) + 3 = 12x⁴ -3x³ + 4x² -12x+3 ≠ 12x⁴  + 3x³ + 4x² + 12x + 3

=> nicht achsensymmetrisch

=> weder punkt-noch achsensymmetrisch

Für die Bestimmung der Nullstellen könntest du Polynomdivision versuchen, was nicht viel bringt, da du keine Nullstelle durch Raten findest.

Deshalb Newton Verfahren und Nullstelle approximieren:)