Steckbrief mit Textaufgabe

Question

Aufgabe:

Der Graph einer zur Ordinatenachse achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft durch den Ursprung und hat einen Hochpunkt H (2/4).

Answer 1

Achsensymmetrisch: \(f(x)=ax^4+cx^2+e,\, f'(x)=4ax^3+2cx\)

Außerdem:

f(0)=0 (Ursprung)
f(2)=4 (Verläuft durch diesen Punkt)
f'(2)=4 (Extremstelle)

Diese Bedingungen in die Funktion einsetzen und das LGS lösen:

\(I:a\cdot 0^4+c\cdot 0^2+e=0 \\II: a\cdot 2^4+c\cdot 2^2+e=4 \\III:4a\cdot 2^3+2c\cdot 2=4\)

Answer 2

Der Graph einer zur Ordinatenachse achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft durch den Ursprung und hat einen Hochpunkt H\( (2|\red{4})\)

Ich verschiebe den Graph um \(\red{4}\) Einheiten nach unten: \(H_1´(2|0)\)

Da der Graph achsensymmetrisch ist, gilt  \(H_2´(-2|0)\)

Da nun auf der x-Achse Extremwerte sind, habe ich 2 doppelte Nullstellen.

Somit weiter mit der Nullstellenform der Funktion 4. Grades:

\(f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2\)

...verläuft durch den Ursprung U\((0|0)\) → U´\((0|-4)\):

\(f(0)=a(0-2)^2(0+2)^2=16a=-4\)

\(a=-\frac{1}{4}\)

\(f(x)=-\frac{1}{4}(x-2)^2(x+2)^2\)

Nun um 4 Einheiten nach oben schieben:

\(p(x)=-\frac{1}{4}(x-2)^2(x+2)^2+4\)