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Bestimmen sie alle x ∈ ℤ die folgende Kongruenzen erfüllen:

x ≡ 27 mod 26 und 0 ≤ x < 26


Heißt das, dass x etwas sein muss, dass durch 27, Rest 26 haben muss ?


Kann mir das bitte jmd. einmal durchrechnen

Vielen Dank schonmal im Voraus.

von

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Beste Antwort

Die Lösung für diese Kongruenz ist x=1, da 27 mod 26 = 1 ist

von

Kannst du mir das vielleicht einmal ausschreiben bzw. mit Worten umschreiben?

27= 1*26 + 1

Modulo Rechnung bezieht sich auf den Rest , in diesem Fall 1

Was wäre es bei:


x Ξ 50003 * 26 mod 5 und  0 ≤ x < 5  ?

Du kannst es folgendermaßen umschreiben

x = (50003 mod 5) * (26 mod 5)

   = 3 * 1

    = 3

50003 = 5 * 10000 + 3

26 = 5 * 5 +1

vielen dank !

Wäre folgendes dann richtig :


2x Ξ 0 mod 10

0 = 10 * 0 + 0

x = 0



und


3x Ξ 3 mod 9

3 = 9 * 0 + 9

x = 9  oder x = 27 ?

also für 2x = 0 mod 10

gilt x = 5n und n \( \in \mathbb{Z}\)

im Bereich 0 \( \leq \) x < 10, kann x=0 sein aber auch x=5, denn

2*5 = 10* 1 + 0


für 3x Ξ 3 mod 9

gilt  im Bereich 0 \( \leq \) x < 9 , x= 1 weil 3*1 =  3 ist

3 *1 = 9*0 + 3

also noch für 3x= 3 mod 9 gilt x= 3n +1  und n \( \in \mathbb{Z} \)

also im Bereich 0 ≤ x < 9, kann n=1 und n=2, somit wäre noch x <9

also für n=1

3*1 + 1= 4 =x

3*4 =12 = 9*1 + 3

und für n=2

3*2+1 =7 =x

3*7 = 21 = 9* 2+ 3

Verstehst du es ?

also kann es beim ersten von 0-5 gehen und beim zweiten nur 1 und 2 sein ?

das mod legt also die Grenze fest ?

ist es beim zweiten jetzt nun x = 1 und 2 oder n = 1 und 2 ?

oder ist es x = 7 und 4 ?

Entschuldige die Verwirrung, war nur ein Tippfehler.

In den Bereichen wär es natürlich n=1 und n=2 woraus folgt x=7 und x=4

Es gibt unendlich viele Zahlen für die 2x = 0 mod 10 gilt, wobei x immer ein Vielfaches von 5 sein muss, also x = 5n und n ∈ Z.

Hier geht kannst du auf keinen Fall jede Zahl zwischen 0 und 5 einsetzen.

Beispielweise x= 3, dann 2*3 = 6 = 0 mod 10 ist falsch! Denn der Rest wäre 6.

Ich bin mir gerade unsicher, ob du Modulo Rechnung richtig verstehst. Es geht nämlich um Division mit Rest. In der Schule hast du die ganz normale Division mit Rest gelernt, jedoch betrachtest du bei Modulo Rechnung nur den Rest.

Ist es jetzt klar ?

dann kann ich beim ersten nur x = 5 einsetzen, da :

2 * 5  = durch 0 Rest 10 hat ?

da geht dann doch nur 5 oder nicht ?


Ich weiß auch nicht ob ich das mod richtig verstehe

6 Ξ 4 mod 2

6 wird durch 4 geteilt

Passt nur einmal rein, Rest ist also 2

4 ist die Zahl durch die geteilt wird und 2 der Rest

Ist das richtig ?

Wiederum versteh ich die zweite Aufgabe dann nicht, da :


3x Ξ 3 mod 9

Wenn x = 7 oder 4 wäre dann:


3*7 Ξ 3 mod 9

21 Ξ 3 mod 9

Was aber einfach nur 21 : 3 = 7 wäre und kein mod 9

Leider ist deine Antwort falsch. Am besten liest du dir nochmal genau durch wie man Modulo rechnet oder schaust dir ein Video an, da du gerade genau auf dem falschen Pfad bist. Aber les dir mal meine Antwort durch, vielleicht verstehst du es dann.

Zu deinen Fragen:

"dann kann ich beim ersten nur x = 5 einsetzen, da :
2 * 5  = durch 0 Rest 10 hat ?
da geht dann doch nur 5 oder nicht ?"

-> Nein , du kannst jede natürliche Zahl n mit 5n =x einsetzen. Im Bereich 0 ≤ x < 10, kann x=0(für n=0) sein aber auch x=5(für n=1) .

Stell dir vor also die Zahl die links steht, also 2x, muss mit Division von 10 den Rest 0 ergeben. Also 2*5 = 10 und durch 10 hat keinen Rest → somit richtig.


21= 3 mod 9 gilt , da die 9 zweimal in die 21 passt also 2*9 = 18 und 21-18 = 3 also Rest 3.

6= 4 mod 2 ist eine falsche Aussage, da 2*3 = 6  ist, die zwei passt also dreimal in die 6 mit dem Rest 0 .

Die Aussage wäre wahr, wenn du schreiben würdest 6 = 0 mod 2


Noch zusammenfassend zum Verständnis:
Es handelt sich bei modulo um eine Kongruenz , das bedeutet eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen. Man nennt zwei ganze Zahlen a und b kongruent modulo m wenn sie bei der Division durch m beide denselben Rest haben. (siehe Wikipedia Kongruenz)

Das bedeutet allg. a= b mod m.

1. Wie oft passt m in a ?

2. Der Rest der bei der Division von m und a existiert muss gleich b sein, dann ist die Aussage wahr.

Danke für deine Mühe !

Ich versuche mich weiter an anderen aufgaben

Gerne ! Üben ist immer gut:)

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