Grenzwert und Einschachtelung beweisen

Question

Es sei a > 0, sowie für n ∈ N sei
X_n = √(n + a)−√n,

Y_n = √(n + a √n) − √n,

Z_n =√(n + an) − √n.
(a) Beweisen Sie, dass für n > a² gilt x_n < y_n < z_n.
(b) Beweisen Sie
limn→∞ x_n= 0,

limn→∞ yn =\( \frac{a}{2} \)
limn→∞ z_n= ∞.

ich bräuchte bei folgender Aufgabe eure Hilfe

Answer 1

(a) Beweisen Sie, dass für n > a² gilt xn < yn < zn.

(1) zu zeigen x_n < y_n

√(n + a)−√n<√(n + a √n) − √n,

√(n + a)<√(n + a √n)

n + a<n + a √n

a<a√n gilt für natürliche Zahlen n>1.

(2) zu zeigen y_n < z_n.

√(n + a √n) − √n<√(n + an) − √n.

√(n + a √n) <√(n + an) .

n + a √n <n + an

a√n<an gilt für natürliche Zahlen n>1.

Comments

1 keine natürliche Zahl ???

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Du hast recht mit deinem Einwand.

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N muss ja aber mindestens 2 sein. Denn nach vorausetzung gilt ja n>a² und a>0

1² = 1 daher n > 1

Hab ich das richtig verstanden?

Könnte mir von euch noch jemand bei b helfen?

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Aus n^2 > a kannst du das nicht herleiten. Denn z.B. für a=0,5

würde ja gelten 1^2 > 0,5^2 .

Die Voraussetzung n>1 wurde vom Aufgabensteller wohl 
schlicht vergessen oder die < - Zeichen sollten ≤ heißen.

Answer 2

Für n=1 gilt es nicht; denn da hast du bei

allen das gleiche.  Also soll wohl n>1 gelten.

Dann gilt:

xn < yn < zn.
<=> √(n + a)−√n  <  √(n + a √n) − √n < √(n + an) − √n

<=> √(n + a)  <  √(n + a √n)  < √(n + an)   ausklammern

<=> √(n + a)  <  √ (√n*(√n+ a )) < √n*√(1 + a)

<=> √(n + a)  <  √ (√n) *√(√n+ a ) < √n*√(1 + a)    | : √n

<=> √(n + a) /  √n  <  √(1/√n) *√(√n+ a )) < √(1 + a)

<=> √(1 + a/n)   <  √(1+ a/√n )< √(1 + a)   #

Und wegen n > a^2   und  a>0  gilt

                  n/a > a  und wegen n>1 ( s.o.) also auch

                  n/a >   √n/a   > a  also auch

                   a/n  <   a/√n <  a     und damit

                 1 + a/n <  1+ a/√n  < √1 + a

und damit #.

b)  √(n + a)−√n = ( n+a-n) / (√(n + a)+√n ) =a / (√(n + a)+√n )

Nenner gegen unendlich, Zähler konstant, also GW 0.

√(n + a √n) − √n = (n + a√n  - n) / ( √(n + a √n) + √n)=(a√n ) / ( √(n + a √n) + √n)

mit  √n      kürzen:

          = a /  ( √(1 + a/√n  ) + 1)

a /√n   geht gegen 0, also Grenzwert   a / 2.

√(n + an) − √n =( n+an - n)/  (√(n + an) + √n) = ( an ) / (√(n + an) + √n)

mit √n kürzen gibt

= ( a√n ) / (√(1 + a) + 1) =

Zähler gegen unendlich Nenner konstant und positiv,, also  GW unendlich.