Beweisen sie Für a>0 Integral 1 = Intregral 2

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für a>0 gilt: \( \int\limits_{\frac{1}{a}}^{1} \) \( \frac{1}{1+x^{2}} \) dx = \( \int\limits_{1}^{a} \) \( \frac{1}{1+x^{2}} \) dx

Verwenden sie eine geeignete Substitution.

Problem/Ansatz:

Sämtliche Substitutionsversuche sind bisher gescheitert. Ich komme einfach nicht drauf wie man diese Gleichung lösen bzw. beweisen soll. Ich weiß dass es sich hierbei eigentlich um ein Standardintegral (arctan(x)) handelt aber die Gleichung soll man ja mittels Substitution lösen. Somit bringt mir das erst mal nichts.

Answer 1

sustituiere links x=1/z,dx=-1/z^2 dz

Dann ergibt sich

$$\int_{\frac{1}{a}}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx=\int_{a}^{1}\frac{1}{1+1/z^2}(-)\frac{dz}{z^2} =\int_{1}^{a}\frac{1}{z^2+1}dz$$

was zu zeigen ist.

Comments

Ach ja stimmt! Super danke, habs verstanden!

Answer 2

die Substitution

x= tan(z)  hilft weiter

dx/dz= 1/cos^2(z) =1 +tan^2(z)

dx=(1 +tan^2(z)) dz

eingesetzt:

=∫ dz = z+C =arc tan(x) +C