Zeilenumformungen bei Determinante, warum Determinanten von A und A' nicht gleich?

Question

ich habe gerade gelernt, dass sich die Determinante einer Matrix A nicht verändert, wenn man zu einer Zeile von A, das Vielfache einer anderen Zeile hinzu addiert.

Ich habe mir dann eine Matrix ausgedacht, um ein Gespür dafür zu entwickeln, und einige völlig willkürliche Zeilenumformungen gemacht, und dann die Matrix in https://matrixcalc.org/de/det.html eingegeben.

Leider kommen dabei zwei verschiedene Werte heraus.

Ich könnte mir vorstellen, dass meine Umformungen nicht gültig waren, teilweise bin ich mir unsicher beim Gauß-Algorithmus.

$$ A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \vert \, \text{Umformungen:}\quad z_{1}+z_{3};\,z_{2}-z_{1};\,z_{3}-z_{2};\,z_{4}+z_{1}\\ \\ \text{Sei A' die Matrix welche durch die angegebenen Umformungen der Zeilen}\, z_{1},..,z_{4} \,\text{aus A entsteht:}\\ A'=\begin{pmatrix} 5 & 7 & 1 & 4 \\ -2 & -2 & 1 & -4 \\ 3 & 3 & -2 & 0 \\3 & 3 & 1 & 8 \end{pmatrix}  $$

Man erhält:

det A = 28

det A' = 56

Weiß jemand wo meine Fehler liegen?

Answer 1

Ich bin gerade dabei diese Problematik zu beleuchten:

https://ggbm.at/dc27zpw5

Deine Operationen mit meiner (dort erklärten) Notation führen zu

\(\scriptsize  E(1,3,1)\cdot E(2,1,-1)\cdot E(3,2,-1)\cdot E(4,1,1)\cdot A =\left(\begin{array}{rrrr}5&6&-1&4\\-2&-2&1&-4\\3&3&-2&0\\3&3&1&8\\\end{array}\right)\)

oder zur Dreiecksmatrix mit Zeilen- und Spalten-Operationen und einem Zeilentausch T(3,1) ==> -det() (also alles dabei ;-)

\(\scriptsize  det(A)=-det(E(4,2,4/3)\cdot E(4,3,-1/3)\cdot A\cdot E(4,3,-2/3) \cdot T(1,3) \cdot E(3,2,-4/3)\cdot E(2,1,-2))=-det\left(\left|\begin{array}{rrrr}-\frac{7}{3}&\frac{1}{3}&2&4\\0&1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\\end{array}\right|\right)\)

Comments

Danke für deine Antwort, sie war sehr hilfreich :) Ich habe meine Schlüsse unter "lul"s Antwort geschrieben, hoffe es ergibt Sinn :D

---

Ich antworte hier auf den Kommentar oben:

Ich versteh jetzt nicht was Du genau meinst. Natürlich kannst Du die Operationen zusammenfassen, indem du die dazugehörigen Elementarmatrizen ausmultiplizierst

\(\scriptsize E(1,3,1) \cdot E(2,1,-1) \cdot E(4,1,1) :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\-1&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&1\\\end{array}\right)  \)

wenn Du die Inverse nimmst, dann "veränderst" die Matrix zur Einheitsmatrix.

Auf was willst Du hinaus?

Du sollest nicht irgendwelche Operationen ausprobieren, sondern welche mit einer Zielvorstellung umsetzen, z.B. Dreieckmatrix erzeugen, Gausslösung LGS oder Determinante berechnen, Inverse erzeugen, LR-Zerlegung usw...

---

Es ging mir nicht darum zur Zeilenstufenform oder Ähnliches zu kommen.Ich wollte einfach den Satz testen und habe irgendwelche mehr oder weniger sinnlosen Zeilenumformungen gemacht, und dann die Determinanten verglichen.

Ich habe nicht verstanden warum die Determinante nach meinen Zeilenumformungen anders war, deswegen habe ich diese Frage gestellt.

Es lag an einem grundlegenden Denkfehler bzgl. des Gauß-Algorithmus, den ich erst dadurch erkannt habe, dass ich die Umformungen mit Elementarmatrizen durchgeführt habe.

Ich habe dann einfach noch überlegt, wie ich meine Umformungen verändern muss, damit die Determinante unverändert bleibt...

Jedenfalls war deine Antwort die Hilfreichste, auch wenn ich sie wohl anders verstanden habe, als du es beabsichtigt hattest.

Danke nochmal :)

Answer 2

Hallo

offensichtlich musst du irgendeine Zeile verdoppelt haben.

 Was du machst: du veränderst Zeile 1, rechnest aber weiter mit der alten Z1, dasselbe mit den anderen.Dadurch verliert man die Kontrolleurs man wirklich gemacht hat.

Kontrolle: da du ja nen Rechner für det benutzt, kannst du deine Schritte nacheinander  machen und jeweils die Det berechnen, dann merkst du , wo der Faktor 2 reinkommt.

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort :)

Ich habe mit “Wächter“s Methode herausgefunden, dass bspw. E(1,3,1)*E(2,1,-1)*E(4,1,1)*A eine Matrix ergibt, welche der Matrix entspricht, die entsteht wenn ich die 3te Zeile in der Ausgangsmatrix unverändert lasse.

Daraus schließe ich zunächst, dass ich anscheinend nicht alle Zeilen gleichzeitig verändern kann.

Mein Denkfehler liegt vlt. in meiner Interpretation, wenn bei einer Matrix folgendes notiert ist:
a b c d      I +III
e f g h      II-I
i  j k  l      III-II
m n o p    IV+I

Ich dachte das passiert alles “gleichzeitig“, so dass meine Umformungen ok sind, aber tatsächlich bedeutet es bspw. (man könnte natürlich auch eine andere Reihenfolge nehmen):

a b c d      I +III
e f g h     
i  j k  l     
m n o p   

a‘ b‘ c‘ d‘       
e f g h          II-I   
i  j k  l           
m n o p     

a‘ b‘ c‘ d‘       
(e – a‘)  (f-b‘)  (g-c‘) (h-d‘)             
i  j k  l                                      III-II
m n o p   



Was man an den Elementarmatrizen gut erkennen kann :)

Korrekt?

Answer 3

Ich glaube das gilt nur, wenn man zu einer Spalte/Zeile das Vielfache einer anderen dazuaddiert

Comments

B entstehe aus A durch die genannte Umformung. Dann gilt det B = det A.

Nun sei C die Matrix, die durch Addition des Vielfachen einer Zeile von B zu einer anderen Zeile von B entsteht, dann gilt det C = det B = det A

Usw.

Deswegen glaube ich, dass man es beliebig oft machen kann, ohne dass die Determinante sich ändert

---

Genau das wollte ich eigentlich ausdrücken, also jeweils kannst du das als eine Zeilenumformung ansehen , jedoch musst du auf jeden weiteren Schritt die vorherige miteinbeziehen.