Berechnung der Halbwertszeit.

Question

Aufgabe:

Am 26.04.1986 ereignete sich bei Tschernobly ein Reaktorunfall,bei dem mehrere radioaktive Isotope freigesetzt wurden. Sie Belasten durch ihre Strahlung noch heute unsere Lebensmittel.

a) berechne, um wie viel Prozent sich die Menge der einzelnen Stoffe bis 2008 reduziert hat.

b) Wann ist für die angegebenen Stoffe nur noch 10% der ursprünglichen Menge vorhanden?

Isotop	Halbwertszeit
Jod-131	8 Tage
Cäsium-134	2 Jahre
Cäsium-137	30 Jahre
Strontium-90	28,8 Jahre

Kann mir jemand die Aufgabe lösen? Das Thema ist Exponentialfunktionen und hier geht es um Halbwertszeit.

Answer 1

Das würde ich wie folgt rechnen

a) berechne, um wie viel Prozent sich die Menge der einzelnen Stoffe bis 2008 reduziert hat.

26.4.1986 bis 1.1.2008 sind es 7920 Tage

Jod-131: 0.5^(7920/8) - 1 = -1 = -100%
Cäsium-134: 0.5^(7920/(2·365.25)) - 1 = -0.9995 = -99.95%
Cäsium-137: 0.5^(7920/(30·365.25)) - 1 = -0.3941 = -39.41%
Strontium-90: 0.5^(7920/(28.8·365.25)) - 1 = -0.4066 = -40.66%

b) Wann ist für die angegebenen Stoffe nur noch 10% der ursprünglichen Menge vorhanden?

0.5^x = 0.1 → x = LN(0.1)/LN(0.5) = 3.322 mal die Halbwertszeit

Jod-131: 3.322·8 = 26.58 Tage
Cäsium-134: 3.322·2 = 6.644 Jahre
Cäsium-137: 3.322·30 = 99.66 Jahre
Strontium-90: 3.322·28.8 = 95.67 Jahre

Comments

Was ist denn LN das hatten wir nicht

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Der natürliche Logarithmus. Du kannst dort aber auch einen anderen nehmen. Auf den meisten Taschenrechnern findest du aber den LN (ln).

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Geht es auch ohne weil wor den nicht hatten

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Ich müsst eigentlich den Logarithmus gehabt haben.

Ansonsten musst du eben testen was du bei

0.5^x = 0.1

für das x einsetzen musst, damit die Gleichung erfüllt ist. Du kannst dann auch auf 3.322 kommen.

Mit dem Logarithmus gehts aber schneller.

Answer 2

a)

Es gilt \(N(t)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\) mit \(T_{1/2}\) als Halbwertszeit des Stoffes. 

b)

Es gilt immer noch \(N(t)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\), dieses Mal ist \(N(t)=\frac{1}{10}\) und du löst nach \(t\) auf.

      → Wenn Du dazu fragen hast, dann sage, woran du scheiterst!

Comments

Ich verstehe allgemein die dirmel nicht

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Du musst nun eigentlich nur noch einsetzen. Nehmen wir das Strontium-90-Isotop. Es hat eine Halbwertszeit von \(T_{1/2}=28.8 \text{ Jahren}\). Zwischen 1986 und 2008 liegen 22 Jahre. Das heißt \(t=22\). Folglich:$$N(22)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{22}{28.8}}≈ 0.589$$ Es bleibt also noch \(58.9\%\) der Startmenge vorhanden. Die Startmenge wurde als um \(58.9\%-100\% \) \(=-41.1\%\)reduziert.

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Wie macht man dann b) und wie rechne bei a) Jod-131 aus weil da sind es ja 8 tage

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Du kannst Tage in Jahre umrechnen.   365 Tage → 1 Jahr

                                                                8 Tage → 8/365≈0.0219 Jahre

Ich muss noch dazu sagen: Da du ein Datum gegeben hast, kann es sein, dass gefordert wird, dass du die genaue Anzahl der Tage umrechnest. Mit Schaltjahren etc.

Das wären (vgl. Mathecoach) 7090 Tage. Ich weiß nicht, ob du das machen musst. Es ist halt etwas ungenauer das so zu machen, wie ich oben.

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Danke viel mals und hat mathecouch nicht ekn anders Ergebnis

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Er hat bei Strontium z. B. -40.66% - das liegt daran, dass er es halt ganz ganz genau nimmt.

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Tut mir leid das ich nerve aber könntest du es mal für jod ausrechnen ich kriege da ein andersrum Ergebnis als mathecouch raus aber verstehe deine formel besser

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Wie macht man dann b) und wie rechne bei a) Jod-131 aus weil da sind es ja 8 tage

8 Tage sind 8/365.25 = 0.02190280629 Jahre

Damit solltest du auf ein ähnliches Ergebnis kommen.

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365.25 doch wegen den Schaltjahren oder

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Genau. Du kannst aber auch mit 365 rechnen. Weil die Halbwertszeiten auch nicht exakt angegeben sind.

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Vielen vielen lieben dank dank dir hab ich die Aufgabe verstanden.

Answer 3

a) Exemplarisch für Cäsium. Ansatz 1/2=1·a³⁰ und dann a=0,5^1/30≈0,97716.

in 22 Jahren werden aus 100 Mengeneinheiten 100·0,97716²²≈60 Mengeneinheiten.

2008 sind noch 60% Cäsium vorhanden.

Comments

Wie kommt man auf die hoch 30und 22

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Die 30 (Jahre) steht in deiner Tabelle. 2008-1986=22.