Integrationsgrenzen bestimmen

Question

Aufgabe:

Es geht um ein Gebietsintegral, wo man die Grenzen bestimmen muss.

Dabei kann man z.B. mit Polarkoordinaten arbeiten. Mein Problem ist, dass ich nie weiß, wie ich die Grenzen bestimme. Bei einer Aufgabe heißt es x^2+y^2 <= 1,  x >= 0. Da lauten die Grenzen 0 <= r <= 1, -1/2pi <= θ <= +1/2pi. Bei einer anderen Aufgabe hat man 4 <= x^2+y^2 <= 9, x >= 0, y <= 0. Hier die Grenzen

2 <= r <= 3, (3/2pi, 2pi)

Problem/Ansatz:

Ich versuche dann immer mir die Grenzen mit den sin, cos Kurven zusammenzustellen, aber so richtig weiß ich auch nicht wie man drauf kommt.

Liebe Grüße

Answer 1

Wenn das solche Gebiete im xy-Koordinatensystem sind, ist es immer gut, wenn man

sich diese zeichnerisch vorstellt.

z.B.     x²+y² <= 1,  x >= 0

Ausgehend von x²+y² = 1 , das ist die Kreislinie um (0;0) mit r=1

hat man für        x^2+y^2 <= 1 ja leicht:

Kreislinie plus Inneres vom Kreis . Und wenn man x >= 0 mit dazu nimmt, also der

rechte Halbkreis mit der y-Achse als Begrenzung, die mit dazu gehört.

Und für die Polarkoordinaten kannst du dir einen Pfeil vorstellen, der

bei (0;0) beginnt und zu jedem Punkt des Gebietes führt.

Dazu muss er von der Richtung "senkrecht nach unten" gegen den

Uhrzeigersinn gedreht werden bis zu Richtung  "senkrecht nach oben" .

Das sind (gegenüber der positiven x-Achse) die Winkel

von -90° bis 90° also von  -1/2pi    bis  +1/2pi.  Und wenn der Winkel

θ heißt also   -1/2pi <= θ <= +1/2pi.

Und während dieser Drehung muss der Pfeil sich für jeden Winkel

 immer verlängern von der Länge 0 bis zur Länge 1 . Und wenn die

Länge r heißt, ist das also 0 <= r <= 1.

Bei deinem 2. Beispiel ist der Kreisring mit innerem

Radius 2 und äußerem Radius 3. Und wegen

x >= 0, y <= 0  nur der Teil, der im 4. Quadranten liegt.

Deshalb geht hier die Drehung von 270° bis 360°

also von 3/2 pi  bis   2pi .

Du könntest auch  -pi/2 bis 0 nehmen.

Comments

Vielen Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung. Ich habe es jetzt verstanden.