Linearfaktorzerlegung der Funktion: f(x): 3*x^3-9*x+6

Question

Aufgabe:

… f(x): 3*x^3-9*x+6

Problem/Ansatz:

Ich weiß auf jeden Fall, dass die Fkt. 3 Nullstellen haben muss, aber habe mit dem Exponenten 3 Probleme z.B. die pq-Formel anzuwenden. Ich hoffe, mir kann dabei einer helfen.

Mfg

Answer 1

3·x^3 - 9·x + 6 = 3·(x^3 - 3·x + 2)

Man sieht das 1 eine Lösung der Gleichung x^3 - 3·x + 2 = 0 ist und macht eine Polynomdivision/Horner Schema an der Stelle 1.

(x^3 - 3·x + 2)/(x - 1) = x^2 + x - 2

3·x^3 - 9·x + 6 = 3·(x - 1)·(x^2 + x - 2)

Man sieht das 1 eine Lösung der Gleichung x^2 + x - 2 = 0 ist und macht eine Polynomdivision/Horner Schema an der Stelle 1.

(x^2 + x - 2)/(x - 1) = x + 2

3·x^3 - 9·x + 6 = 3·(x - 1)^2·(x + 2)

Damit ist die Funktion vollständig in Linearfaktoren zerlegt.

PS: Bei dem quadratischen Term hätte man auch pq-Formel oder den Satz von Vieta benutzen können. Man kann aber gut zur Übung auch die Polynomdivision oder das Horner Schema nutzen.

Answer 2

durch " Raten" findest Du schnell x= 1 als Lösung, danach machst Du eine Polynomdivision.

(3x^3          - 9x  + 6) : (x - 1)  =  3x^2 + 3x - 6 
3x^3  - 3x^2         
———————————————————————
        3x^2  - 9x  + 6
        3x^2  - 3x   
        ———————————————
              - 6x  + 6
              - 6x  + 6
              —————————
                      0

3x^2 + 3x - 6  ->z.B. pq-Formel

usw,

Answer 3

Verwende den Satz über rationale Nullstellen um eine Nullstelle zu raten.

Führe dann eine Polynomdivision durch.

Answer 4

Setze mal x = 1 ein:

f(1) = 3 * 1 - 9 * 1 + 6 = 0

Also hast du schon eine Nullstelle gefunden.

Jetzt musst du Polynomdivision machen:

(3x³-9x + 6) : (x-1) = 3x² + 3x -6

-(3x³-3x²⁾

^{----------------}

3x² -9x

(-3x² -3x)

-----------------

-6x + 6

-(-6x +6)

-------------

0

Jetzt löse mittels der Mitternachtsformel 3x² + 3x -6:

x_2/3 = \( \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 * 3} \)

= \(\frac{-3 \pm \sqrt{81}}{6}\)

x₂= \(\frac{-3 + 9}{6}\)  = 1, x₃ = \(\frac{-3 - 9}{6}\) = -2

Also ist 1 eine doppelte Nullstelle. Da nun alle Nulstellen bekannt sind, ergibt sich:

f(x) = 3(x-1)² * (x+2)

Answer 5

$$3x^3-9x+6 = \\ 3(x^3-3x+2) = \\ 3(x^3-x-2x+2) = \\ 3(x(x^2-1)-2(x-1)) = \\ 3(x(x+1)-2)(x-1) = \\ 3(x^2+x-2)(x-1) = \\ 3(x^2-x+2x-2)(x-1) = \\ 3(x(x-1)+2(x-1))(x-1) = \\ 3(x+2)(x-1)(x-1). $$