Loesungsmenge des homogenen LGS

Question

Aufgabe:

Was ist die Lösungsmenge des folgenden LGS?

$$\begin{bmatrix}     1      & 0 & 1 & 0 & 0 \\   0     & 1 & 1 & 0 & 0 \\   0& 0 & 0 & 1 & 0 \\    0     & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Also meine 4. Zeile ist eine Nullzeile, also kann ich x₄ frei waehlen. Weiterhin sieht man, dass x₁=x₃ und x₂=x₃ gelten muss. Wie schreibe ich dann die Lösungsmenge? Etwa so?

$$L_0= \{ t, t, t,s \}$$

Answer 1

Die 3. Zeile deines LGS sagt aus, dass x4 = 0 ist.

Also du kannst x3 als Parameter wählen besipielsweise t\( \in \mathbb{R}\) und die die anderen x in Abhängigkeit von t schreiben.

Also x1 = -t (du machst ja -x3) und dasselbe gilt für x2 = -t

Also \( \mathbb{L} = \lbrace t \begin{pmatrix}  -1 \\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}| t \in \mathbb{R} \rbrace\)

Answer 2

Etwa so?$$L_0= \{ t, t, t,s \}$$

Nein. Du kannst das x4 nicht frei wählen.

Aber die 3. Zeile sagt ja x4=0.

Dann kannst du aber x3 frei wählen

etwa x3=t  und bekommst mit der

2. Zeile   x2 = -t

und mit der 1. Zeile

x1 = - t also

( -t ; -t ; t ; 0 )