Zeigen Sie, dass es einen Punkt c ∈ (a, b) mit f(c) = g(c) gibt

Question

Aufgabe:

Es seien a, b, c, d ∈ R mit a < b und c < d.

Es seien f, g : [a, b] → R stetige Funktionen mit f(a) > g(a) und f(b) < g(b).

Zeigen Sie, dass es einen Punkt c ∈ (a, b) mit f(c) = g(c) gibt.

Problem/Ansatz:

Ich versteh die Aufgabe nicht, komme hier einfach nicht weiter..

Hilfe :(

Rejes

Answer 1

Wenn f und g stetig sind, dann auch deren Differenz    d =   f-g

Und wegen  f(a) > g(a) und f(b) < g(b) ist

d(a) = f(a) - g(a) > 0   und  d(b) = f(b) - g(b) < 0

also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein

c ∈ (a,b) mit  d(c) = 0 also  f(c) - g(c) = 0

oder eben f(c) = g(c) .