Stetive Funktionen und Ableitungen. Bsp. Zeigen, dass es einen Punkt c ∈ (a,b) mit f(c) = g(c) gibt.

Question

Aufgabe:

Es seien a, b, c, d ∈ ℝ mit a < b und c < d.

a) Es seien f, g : [a,b] → ℝ stetige Funktionen mit f(a) > g(a) und f(b) < g(b) . Zeigen Sie, dass es einen Punkt c ∈ (a,b) mit f(c) = g(c) gibt.

b) Es se f : [a,b] → [c,d] eine streng monoton wachsende stetige Funktion mit f(a) = c und f(b) = d. Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

c) Zeigen Sie, dass der Mittelwertsatz der Diferentialrechnung nicht allgemein fürr stetige (möglicherweise nicht in jedem Punkt differenzierbare) Funktionen gilt. Das heißt, dass es eine stetige Funktion f : [a,b]  →  R gibt, so dass kein c ∈ [a,b] existiert, für welches f diferenzierbar ist und zusätzlich f(b) - f(a) / b-a = f ' (c)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stetige Funktion Beweisen

Stichworte: stetigkeit,funktion

Es seien f, g : [a, b] → R stetige Funktionen mit f(a) > g(a) und f(b) < g(b). Zeigen Sie, dass es
einen Punkt c ∈ (a, b) mit f(c) = g(c) gibt.

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Weicht die erneute Frage von der bereits beantworteten ab? Wenn ja: Wie?

Answer 1

a) Betrachte die Funktion h:  [a,b] → ℝ  , h(x) = f(x) - g(x).

Die ist als Differenz stetiger Funktionen auch stetig auf [a,b] und es

ist h(a) = f(a) - g(a) > 0  und  h(b) < 0 .

Also existiert  nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle c in [a,b] .

Es gilt also h(c) = 0 <=>  f(c) - g(c) = 0 <=>   f(c) = g(c) .

b)  1.   f ist Injektiv.

Bew.: Seien u und v aus  [a,b]  mit f(u) = f(v) .

1. Fall    u<v . Wegen der strengen Monotonie

folgt dann f(u) < f(v) . Widerspruch !

2. Fall v < u . Wegen der strengen Mootonie 
folgt dann f(v) < f(u) . Widerspruch !

Also u=v.

2.  f ist surjektiv.  Sei y ∈ [c,d]. Dann gilt   c ≤ y ≤ d

also   f(a)  ≤ y ≤ f(b) .

Da f stetig ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz :

Es gibt ein u  ∈ [a,b] mit f(u) = y . Also ist f surjektiv.

c) Gegenbeispiel   f  : [-1,1]  →  R  , f(x) = |x|

stetig, allerdings bei x=0 nicht differenzierbar. Es gibt

kein c ∈ [a,b] mit   f ' (c) = ( f(1) - f(-1)  ) / (1-(-1)) = 0/2 = 0.

Denn an den Stellen, an denen f differenzierbar ist, gilt

f ' (c) = 1 oder f ' (c) = -1 .