Lösung einer beliebigen Integralfunktion durch das Aufschlüsseln der Funktionsgleichungen von Innen nach Außen

Question

Lösung einer beliebigen Integralgleichung:

Die schrittweise Lösung einer verketteten Funktion bzw. deren Integral ist durch das Aufschlüsseln der Gleichungen von Innen nach Außen möglich! Auch das Integral und nicht nur die Funktion als solche können so berechnet werden. Siehe dazu:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Sinusfunktion.html

Bei dieser Berechnung wurde die Funktion von Innen nach Außen aufgelöst, damit dürfte auch so das Integral von Innen nach Außen berechnet werden können.

folgende Gleichung wurde als Beispiel gewählt, habe auch andere Beispiele durchgerechnet mit exaktem, richtigen Ergebnis:

Integral (1-x^2)^0.5 dx= (arcsin(x)+x*(1-x^2)^0.5)/2

Integration der Inneren Funktion: Integral (1-x^2) dx= x-1/3x^3+C, (x+1)-1/3(x+1)^3+C

x(0), damit ist C bestimmbar: C=2/3,

damit lautet die Gleichung des inneren Integrales: ......

 folgende Überlegungen wurden von mir für die weitere Berechnung genutzt:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Bogenlaenge.html daraus folgt:

k*((x+1)-1/3(x+1)^3)+2/3 mit k=0.5, dies ergibt sich aus dem Produkt des Faktors, der vor x^2 in der Ausgangsgleichung steht,  Multipliziert mit dem Exponenten der äußeren Funktion!!!!

diese  innere Funktion wird noch einmal Integriert, damit das Gesamtintegral der inneren und äußeren Funktion bestimmt werden kann:

das Ergebnis ist:

1/4(x+1)^2-1/24(x+1)^4+2/3(x+1)+V, wieder x(0), daraus folgt: V=-0.875, damit lautet die Gesamtgleichung für das ganz oben stehende Integral:

1/4(x+1)^2-1/24(x+1)^4+2/3(x+1)-0.875= (arcsin(x)+x*(1-x^2)^0.5)/2 = Integral (1-x^2)^0.5 dx

diese Werte, Gleichungen wurden graphisch überprüft:

~plot~ (1-x^2)^0.5;1/2((x+1)-1/3*(x+1)^3)+2/3; (asin(x)+x*(1-x^2)^0.5)/2;0.5*(0.5(x+1)^2-1/12(x+1)^4)+2/3(x+1)-0.875 ~plot~

Damit dürfte sich eine beliebige Integralgleichung mit diesem System exakt berechnen lassen, auch schwierige, verkettete Integrale!!!!! Ich bitte um Ihre Wertungen! , Bert Wichmann!

Answer 1

Hallo

deine Idee: $$\int_{0}^{x}f(g(t)dt=\int_{0}^{x}f(\int_{0}^{x} g(t)dt) ?$$ hab ich das richtig verstanden?

dann $$\int_{0}^{x} t^{4} dt = \int_{0}^{x}(t^2)^2dt = \int_{0}^{x} g^{2}(t)dt \text{ mit } g(t)=t^{2}$$

kannst du mir damit mal deine Idee vorführen?

ich bekomme damit x^3/3+0 dann mit 2, dem äußeren Exponenten multipliziert 2*x^3/3

das Integriert ergibt 2x^4/12=1/6x^4 das richtige Integral ist x^5/5, graphisch verifiziert, stimmen die Lösungen bis etwa x=0,4 überein!

was mach ich falsch?

Gruß lul

Comments

Der Fehler liegt bei mir! Der konstante Faktor ist nicht richtig! Habe meine Methode mit (4x-1)^2 durchgerechnet, da stimmte alles! Als Ergebnis kam das ursprüngliche Integral dieser Funktion heraus, wie bei dem ganz oben stehenden Beispiel!

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Hallo

 dann rechne mal vor wie du (x^2)^2 nach deiner Methode integrierst. Vielleicht merkst du dann den Fehler deiner Methode selbst?

Gruß lul

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Ich sagte bereits, daß der konstante Faktor nicht richtig ist....!

(x^2)^2, Integral der inneren Funktion: 1/3x^3 multipliziert mit 2, dem äußeren Exponenten ergibt 2/3x^3, dies integriert ergibt als Ergebnis 1/6x^4, ein falscher konstanter Faktor...

es müssen die Ableitungen der inneren Funktion mit Einfließen, die Faktoren dürfen zb. bei der der Funktion (4x^2-1)^2 für die ersten beiden Terme des zu bildenden 2., äußeren Integrales nicht gleich sein, ansonsten wird es nicht gehen!

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Beispiel:  Integral (4x^2-1)^2 dx= 4/3x^3-x+C Multiplikation mit 8x, der inneren Ableitung, daraus folgt:

a*32/3x^4-8x^2+C, äußeres Integral bilden:

a*32/3*1/5x^5-1/3*8x^3+x+C Faktor a, denn als Ergebnis soll herauskommen:

          16/5x^5-1/3*8x^3+x+C, damit ergibt sich für a ein Wert von 3/2, wie geschrieben, die Faktoren der beiden Terme dürfen nicht gleich sein!

Der Faktor a ist übrigens auch bei Deinem aufgeführten Beispiel gültig, a=3/2, dann bekommst Du als Lösung 1/5x^5, wenn man nach meiner Strategie vorgeht!

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Hallo

jetzt has du 2 Faktoren, 1. die Ableitung der inneren Funktion, 2. ein a, dabei muss man das Ergebnis der richtigen Integration wissen um a zu bestimmen?

im ersten post noch: "k=0.5, dies ergibt sich aus dem Produkt des Faktors, der vor x^2 in der Ausgangsgleichung steht,  Multipliziert mit dem Exponenten der äußeren Funktion!!!!" also nicht die erste Ableitung der inneren Funktion??

(Weisst du wie man Integrale mit Substitution löst?Manches was du tust geht in die Richtung, aber eben nicht ganz.)

Wenn du dein Verfahren an jedes neue Integral anpasst das du so lösen willst kann es sein, dass du bei bekanntem Ergebnis oft hinkommst.

besonders interessant wäre das einfach aussehende Integral über e^{x^2}, die innere Funktion ist leicht und das integral e^x noch leichter.

Gruß lul

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Ich fühle mich ungerecht behandelt! Die Schulmathematik (Hochschul....) ist mir im Punkt der Integralrechnung nicht vertrauenswürdig, wenn ich die Ergebnisse ihrer Rechnungen  sehe, man nehme nur einmal das Ergebnis meiner ganz oben stehenden Beispielrechnung, die falsch war, das gebe ich zu. Viele Integrale sind ja damit gar nicht lösbar! Wenn man Wege nach etwas Neuem sucht, wird man sicherlich auch Fehler machen, das ist normal! Etwas mehr Kooperation und nicht nur Kritik hätte ich erwartet! Bis jetzt hat fast alles, was ich unternommen habe und relativ aussichtslos erschien, funktioniert. Ich werde sicherlich auch dieses Problem lösen können! Ich glaube die Chancen stehen im Vergleich zu vielen anderen Ausgangsstellungen von Problemen, die ich bearbeitet habe, relativ gut. , Bert Wichmann!

Siehe meine Website:

http://www.wichmann.dashosting.de/