Berechnen der Summe der Reihe ∑ n/2^n

Question

Hi,

ich bräuchte unbedingt Hilfe, um die folgende Summe auszurechnen:

∑^∞ _n=1  n/2ⁿ

Wäre nett, wenn der Rechenweg aufgeschrieben werden könnte.

Danke.

Answer 1

Hey :)

Das ist gar nicht so schwer, du musst dir das Summenzeichen am besten als eine Verknüpfung von addition Vorstellen. Unten steht ja n=1 das ist sozusagen der Startpunkt, du setzt für n einfach 1 ein, also:

1/ (2^1) bzw( 1/2) dann schreibst du dir ein additionszeichen auf "+" und setzt für n die nächste Zahl, also die 2 ein. Also 2/(2^2) bzw. ( 2/4)

bisher hast du also: ∑∞ n=1  n/2n = 1/2 + 2/4 dort stehen...oben am Summenzeichen steht ein "unendlich" also musst du diese addition solange weiter machen bis du beim einsetzen von n bei unendlich angekommen bist....: 1/2 + 2/4+.....

in diesem Fall ist es natürlich sinnvoller den Grenzwert zu betrachten...

die Folge n/(2^n) betrachtest du dabei zunächst. der lim n-> unendlich = n/(2^n) jetzt überlegst du dir, dass das n ja gegen unendlich läuft...ok aber 2^n läuft ja auch gegen unendlich und sogar noch viel stärker gegen unendlich somit hast du irgendwann Brüche der art 70/45780 (ich weiß nicht ob das jetzt passt das ist nur ausgedacht ich habe gerade keinen Taschenrechner zur Hand) Jedenfalls ist die Zahl im Nenner viel Höher und die Zahl wird insgesamt immer kleiner, sie konvergiert also gegen Null...

Falls du den Grenzwert der Reihe berechnen sollst, dass musst du dann mti Hilfe von verschiedenen Kriterien lösen (Quotientenkriterium, geom. Reihe, Leibnitzkriterium....) falls ihr sowas hattet...aber du hattest ja eig. nur gefragt wie man die Summe überhaupt berechnet...

Comments

Danke vorab für deine Antwort.

Muss ich aber nicht weiterrechnen. Ich habe bei n=1 angefangen und habe bis n=3 gerechnet. Bis zu welcher Zahl soll ich noch für n einsetzen? Reicht es wenn ich von 1 bis 3 die Zahlen einsetze und diese dann ausrechne?

Bspw.: 1/2 + 1/2 + 3/8 = 11/8

War´s das oder muss ich noch weiter was machen?

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Hey :)


also im Prinzip musst du ja unendlich viele Zahlen einsetzen. Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung? Sollst du den Grenzwert der Reihe bestimmen? Hattet ihr die verschiedenen Kriterien dafür in der Schule/Uni um diesen zu bestimmen?

Die Reihe geht ja bis ins unendliche und oben habe ich ja bereits gezeigt dass die Folge im unendlichen gegen Null konvergiert...Also irgendwann addierst du so kleine Zahlen hinzu, dass die das Ergebnis der Summe kaum verändern. Aber um einen ganz bestimmten Wert herauszubekommen der beim aufsummieren herauskommt musst du eben den Grenzwert mit Hilfe der verschiedenen Kriterien bestimmen...meistens muss man aber nur sagen, ob die Reihe konvergent ist oder nicht also ob es einen Grenzwert gibt oder nicht...;) das machst du eben genau mit diesen Kriterien die ich oben schon einmal in Klammern geschrieben habe...

Answer 2

lt. geometrischer Reihe gilt für \(|x|<1\)$$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.$$Ableiten liefert$$\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}.$$Multiplikation mit \(x\) liefert$$\frac x{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^n.$$Setze nun \(x=\frac12\)$$2=\sum_{n=1}^\infty\frac n{2^n}.$$