Wie berechne ich diese unendliche Summe? ∑ (n*(5/6)^n )

Question

Wie gehe ich vor, um diese unendliche Summe zu berechnen?

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n · \left(\frac{5}{6}\right)^{n} \)

Ich hatte überlegt, ob es mit einer geometrischen Reihe geht, aber irgendwie passt das dann doch nicht.

Comments

Es ist eine geometrische Reihe:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

a_0=(5/6)^0 = 1

---> 1/(1-(5/6)) = 6

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Ich denke nicht das es eine geometrische Reihe ist, denn dort steht ja noch das n in der Summe als Faktor.
Ich habe momentan keine Ahnung. Wolframalpha kennt einen Term für die Partialsummen aber wie man den herleitet weiß ich gerade nicht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_n%3D0%5Einfinity+n*%285%2F6%29%5En

Die unendliche Summe beträgt also 30.

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Danke, Mathecoach, das n hab ich doch glatt  irgendwie übersehen. Das kommt davon,  wenn man einmal die Brille nicht benutzt. :))

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Hier ist eine Erklärung wie man das Problem angeht.

http://matheraum.de/forum/Grenzwert_der_Reihe_qn_n/t224159

Mein Problem ist ich versteh es nicht ganz. Warum darf man differenzieren und dann multiplizieren? Differenzieren geht doch nur bei stetigen Funktionen oder nicht?

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Differenzieren geht doch nur bei stetigen Funktionen oder nicht?

Differenzieren geht bei differenzierbaren Funktionen. Stetigkeit ist eine notwendige (aber keine hinreichende) Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Die betrachtete Funktion ist als Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen auf einem bestimmten Intervall, das den Konvergenzbereich der Reihe einschließt, differenzierbar.

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Wie man auf die 30 kommt?

Wenn man da differenziert und mal q nimmt erhält man auf der rechten Seite

q/(1 - q)² = (5/6)/(1 - 5/6)² =   (5/6)/(1/6)² = 5*6 = 30

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Ich habe mir das nochmal auf der Seite
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

angeschaut. Dort ist das besser erklärt und da habe ich das auch verstanden.

Answer 1

∑ (k = 0 bis n) (k·q^k) für q ≠ 1

Wir gehen mal von der bekannten Summenformel aus:

∑ (n = 0 bis n) (q^k) = (q^{n + 1} - 1)/(q - 1)

Beide Seiten nach q differenzieren

∑ (n = 0 bis n) (n·q^{n - 1}) = (n·q^{n + 1} - n·q^n - q^n + 1)/(q - 1)^2

Beide Seiten mal q nehmen

∑ (n = 0 bis n) (n·q^n) = (n·q^{n + 2} - n·q^{n + 1} - q^{n + 1} + q)/(q - 1)^2

 

Jetzt braucht man nur noch q einsetzen und den Grenzwert für n gegen Unendlich bestimmen. Es ergibt sich der Grenzwert 30.

Comments

Die bemerkenswerte Wahl von  q = 5/6  in der Aufgabenstellung erlaubt wohl den Schluss, dass es sich bei dem Original-Problem um eines aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung handelt, denn die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einmaligem Werfen eines echten Würfels keine "6" zu erzielen, beträgt 5/6. Die W., bei zweimaligem Werfen keine "6" zu haben, ist also (5/6)^2 , bei n-maligem Werfen beträgt sie (5/6)^n .

Diese Original-Aufgabe könnte also vielleicht folgendermaßen gelautet haben :

"Bei einer Würfelbude auf dem Rummelplatz wird nach folgendem Gewinnplan gespielt : Nach einem Einsatz von z € darf man würfeln. Wirft man beim ersten Mal keine "6", so erhält man 1€ ausgezahlt und darf weiter würfeln. Hat man im zweiten Wurf ebenfalls keine "6", so erhält man weitere 2€ und darf weiter würfeln. Hat man im dritten Wurf ebenfalls keine "6", so erhält man weitere 3€ und darf weiter würfeln. ... Das geht so lange, bis man eine "6" würfelt, dann ist Schluss.

Bei welchem Einsatz  z  ist das Spiel fair ?"

Die Rechnung zeigt, dass  z = 30  ist.

Frage : Gibt es eine (andere) Interpretation der Aufgabe, bei der man den Erwartungswert E(X) = 30  der zugehörigen Zufallsvariablen X sofort "sieht" und sich aufgrund dessen die Rechnung mit Reihen und Grenzwerten ersparen kann ?

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Deine Interpretation der Aufgabenstellung klingt doch schon ganz gut.
Das ganze würde mich dann an eine Markow-Kette erinnern. Die Länge einer Markowkette könnte dann berechnet werden. Ich weiß aber nicht ob man damit auch die 30 Euro hat. Ich vermute jetzt mal nicht. Aber wenn ich beginnen würde dann so.

Du kannst dir ja mal die Mühe machen und das ausarbeiten.

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Gibt es eine (andere) Interpretation der Aufgabe, (...)

Wird die o.g. Reihe mit 1/6 multipliziert, dann steht da etwa die durchschlittliche Anzahl an Fehlversuchen bis beim Würfeln die erste 6 fällt. Erinnert als an die geometrische Verteilung.