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Muss leider sagen, dass ich an dieser Aufgabe verzweifele :( Bin für jede Hilfe dankbar

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Beweis durch Widerspruch.

Annahme (v1,…,vn) sind linear abhängig. So lässt sich einer der Vektoren als Linearkombination der andern schreiben. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei das v1. (Man ordnet sie gegebenenfalls neu an)

Also v1 = av2 + bv3 + cv4 … + mvn          mit (a,b,c,…m) Element IRn-1

Somit ist f(v1) = f(av2 + bv3 + cv4 … + mvn ) 

Nun ist f nach Voraussetzung eine lineare Abbildung. Deshalb gilt

f(v1)= f(av2 + bv3 + cv4 … + nvn ) =  af(v2) + bf(v3) + cf(v4) … + mf(vn ) 

Nun steht hier aber f(v1) als eine Linearkombination von f(v2), f(v3)…f(vn)

Das widerspricht der Voraussetzung in der Aufgabe.

Folge: Die Annahme ist falsch. v1,…vn sind linear unabhängig.

 

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