+7 Daumen
6,7k Aufrufe

Aufgabe:

Sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung und sei \( \left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right) \) eine Basis von \( V \).

Zeigen Sie:

1. \( f \) ist injektiv genau dann, wenn, \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) linear unabhängig ist.

2. \( f \) ist surjektiv genau dann, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) ein EZS ist.

3. \( f \) ist bijektiv genau dann, wenn \( \left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{n}\right)\right) \) eine Basis ist.

von

2 Antworten

+3 Daumen
1.injektiv -> l.u.:

f injektiv <=> ker f = 0.

Betrachte a1f(v1) + ... + anf(vn) = 0

=> f(a1v1+...+anvn) = 0 => a1v1+...+anvn = 0, da ker f = 0

=> a1 = ... = an = 0, da die vi lin. unabh. sind

l.u. -> inj.

zeige ker f = 0.

angenommen f(a1v1+...+anvn) = 0

=> a1f(v1)+...+anf(vn) = 0 => a1 = ... = an = 0, da f(vi) lin. unabh.

also f(v) = 0 <=> v = 0, also ker f = 0, also f injektiv.
von
+3 Daumen

2. f ist surjektiv ⇔ f(v1),...,f(vn) ist Erzeugendensystem.

 

⇒: Sei f surjektiv. Das heißt, für alle w∈W existiert ein v aus V mit f(v)=w.
Entwickle v nach der Basis in V:
w = f(v) = f(a1v1+...+anvn)

wegen f linear gilt:

w = f(a1v1+...+anvn)=a1f(v1)+...+anf(vn)

Da das w beliebig gewählt war, lässt sich so jedes w aus W nach f(v1) bis f(vn) entwickeln. Also ist f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem.

 

⇐: Sei f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem von W. Nach Definition bedeutet das: jedes Element von w lässt sich als Linearkombination über f(v1),...,f(vn) mit den Koeffizienten a1, ..., an darstellen:

w = a1f(v1)+...+anf(vn)

Analog zur anderen Richtung folgt daraus:
w = f(a1v1+...+anvn) = f(v)

Da das für jedes Element von W funktioniert, besitzt jedes Element von W ein Urbild v. Also ist f surjektiv.

 

3. Hier muss man nur ausnutzen:

f(v1),...,f(vn) ist eine Basis ⇔ f(v1),...,f(vn) ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem

Mit den eben bewiesenen Äquivalenzen folgt damit direkt die Behauptung.

von 10 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community