+7 Daumen
4,5k Aufrufe

Ich hoffe ihr seid mir nicht böse aber ich habe wieder ein Problem. Verstehe das leider total nicht.


Sei f: V zu W eine lineare Abbildung und sei ( v1,....,vn) eine Basis von V. Zeigen Sie
1. f ist injektiv genau dann, wenn (f(v1),....,f(vn)) linear unabhängig ist.
2. f ist surjektiv genau dann, wenn (f(v1),.....,f(vn)) eine EZS ist.
3. f ist bijektiv genau dann wenn (f(v1),.....,f(vn)) eine Basis ist.

Gefragt von
Ich hoffe, du hast die Lösung vom anonymen User verstanden? Dann beantworte ich nur die anderen beiden Fragen.

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, seien v1, . . . , vn V Vektoren und sei f : Kn V die Abbildung, die ei auf vi abbildet für i = 1, . . . , n (wobei e1, . . . , en die Standardbasis von Kn ist; siehe Beispiel 3.4.2 aus der Vorlesung). Zeigen Sie:

(a) f ist injektiv genau dann wenn v1 , . . . , vn linear unabhängig sind.

 (b) f ist surjektiv genau dann wenn v1,...,vnK =V

(a) f ist injektiv genau dann wenn v1 , . . . , vn linear unabhängig sind.Angenommen die v's sind lin. unabh. undf nicht Injektiv, dann gibt i ≠ j mit  f(ei ) = f ( ej) also vi = vj
Damit sind die v ' s nicht lin. unabh
umgekehrt

wenn f Injektiv ..  dann kann ich die
lin. Unabhängigkeit der v's nur beweisen,

wenn f eine LINEARE Abb. wäre ????

War das vielleicht vorausgesetzt ?

Stand da zwar nicht, gehe aber stark davon aus, da das im Moment unser Thema ist.

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, seien v1, . . . , vn ∈ V Vektoren und sei f(lineare Abbildung): Kn → V die Abbildung, die ei auf vi abbildet für i = 1, . . . , n (wobei e1, . . . , en die Standardbasis von Kn ist; siehe Beispiel 3.4.2 aus der Vorlesung). Zeigen Sie:

(a) f ist injektiv genau dann wenn v1 , . . . , vn linear unabhängig sind.

 (b) f ist surjektiv genau dann wenn ⟨v1,...,vn⟩K =V.

Hilfe!

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, seien v1, . . . , vn V Vektoren und sei f : Kn V die Abbildung, die ei auf vi abbildet fu ̈r i = 1, . . . , n (wobei e1, . . . , en die Standardbasis von Kn ist; siehe Beispiel 3.4.2 aus der Vorlesung). Zeigen Sie:

(a) f ist injektiv genau dann wenn v1 , . . . , vn linear unabhängig sind.

 (b) f ist surjektiv genau dann wenn v1,...,vnK =V

Hilfe!

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, seien v1, . . . , vn V Vektoren und sei f : Kn V die Abbildung, die ei auf vi abbildet fu ̈r i = 1, . . . , n (wobei e1, . . . , en die Standardbasis von Kn ist; siehe Beispiel 3.4.2 aus der Vorlesung). Zeigen Sie:

(a) f ist injektiv genau dann wenn v1 , . . . , vn linear unabhängig sind.

 (b) f ist surjektiv genau dann wenn v1,...,vnK =V

siehe Beispiel 3.4.2 aus der Vorlesung

siehe Beispiel 3.4.2 aus der Vorlesung

EDIT: Habe die Markierung entfernt.

Warum meldest du diese Kommentare? Es könnte tatsächlich sein, dass jemand, der dir bei deiner Frage helfen möchte, wissen muss, was in diesem Beispiel genau steht.

Oh das war ein Versehen:

Beispiel 3.4.2 In Kn bilden die Vektoren 

e1(1,0,0...0), e2 (0,1,0...0), ... , e n (0,0,..,.0,1)

eine Basis, die Standardbasis

ich hätte da einen hinweis:

(a) kern besteht nur aus dem nullvektor wenn v1, .. , vn linear unabhängig sind --> f ist injektiv

(b) da f(f-1(V)) = V  --> ist f surjektiv , wobei f-1 die urbildfunktion bezeichnet

mit V meinte ich eigentlich die elemente aus V

Komme bei der Aufgabe leider überhaupt nicht weiter....

Wäre über eine schnelle Antwort sehr dankbar <3

Schonmal vielen Dank im Voraus!

Bild Mathematik

Brauch auch dringend Hilfe bei dieser aufgabe

gollumgollumgirl, kannst du deine Hinweise vielleicht noch ein bisschen ausschmücken, stehe voll auf dem Schlauch

Bin auch am Verzweifeln... brauche diese Aufgabe unbedingt für mein Klausurzulassung :-((

Bild Mathematik (a) ist injektiv genau dann wenn v, . . . , vlinear unabhängig sind.Angenommen die v's sind lin. unabh. undf nicht Injektiv, dann gibt i ≠ j mit  f(ei ) = f ( ej) also vi = vj
Damit sind die v ' s nicht lin. unabh
umgekehrt

wenn f Injektiv ..  dann kann ich die
lin. Unabhängigkeit der v's nur beweisen,

wenn f eine LINEARE Abb. wäre ????

War das vielleicht vorausgesetzt ? 

Ja, das war es.... bin total aufgeschmissen. Kannst du mir jetzt vielleicht weiterhelfen.

2 Antworten

+2 Daumen
1.injektiv -> l.u.:

f injektiv <=> ker f = 0.

Betrachte a1f(v1) + ... + anf(vn) = 0

=> f(a1v1+...+anvn) = 0 => a1v1+...+anvn = 0, da ker f = 0

=> a1 = ... = an = 0, da die vi lin. unabh. sind

l.u. -> inj.

zeige ker f = 0.

angenommen f(a1v1+...+anvn) = 0

=> a1f(v1)+...+anf(vn) = 0 => a1 = ... = an = 0, da f(vi) lin. unabh.

also f(v) = 0 <=> v = 0, also ker f = 0, also f injektiv.
Beantwortet von
+2 Daumen

2. f ist surjektiv ⇔ f(v1),...,f(vn) ist Erzeugendensystem.

 

⇒: Sei f surjektiv. Das heißt, für alle w∈W existiert ein v aus V mit f(v)=w.
Entwickle v nach der Basis in V:
w = f(v) = f(a1v1+...+anvn)

wegen f linear gilt:

w = f(a1v1+...+anvn)=a1f(v1)+...+anf(vn)

Da das w beliebig gewählt war, lässt sich so jedes w aus W nach f(v1) bis f(vn) entwickeln. Also ist f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem.

 

⇐: Sei f(v1),...,f(vn) ein Erzeugendensystem von W. Nach Definition bedeutet das: jedes Element von w lässt sich als Linearkombination über f(v1),...,f(vn) mit den Koeffizienten a1, ..., an darstellen:

w = a1f(v1)+...+anf(vn)

Analog zur anderen Richtung folgt daraus:
w = f(a1v1+...+anvn) = f(v)

Da das für jedes Element von W funktioniert, besitzt jedes Element von W ein Urbild v. Also ist f surjektiv.

 

3. Hier muss man nur ausnutzen:

f(v1),...,f(vn) ist eine Basis ⇔ f(v1),...,f(vn) ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem

Mit den eben bewiesenen Äquivalenzen folgt damit direkt die Behauptung.

Beantwortet von 10 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...