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Basis für Unterräume bestimmen
Um die Basis der Unterräume \(U_1 \cap U_2\) und \(U_1 + U_2\) zu bestimmen, müssen wir einige Schritte durchführen. Zunächst ist es wichtig, die Vektoren, die die Unterräume definieren, klar darzustellen. Leider scheint ein Fehler in der Aufgabenstellung für die Vektoren von \(U_2\) vorzuliegen, da einem Vektor eine Komponente fehlt. Trotzdem werde ich einen allgemeinen Lösungsansatz darstellen, mit dem man die Basis für die genannten Unterräume ermitteln kann.
a) Basis für \(U_1 \cap U_2\)
Die Basis für den Durchschnitt \(U_1 \cap U_2\) zu finden, bedeutet, einen Satz von linear unabhängigen Vektoren zu finden, die in beiden Unterräumen enthalten sind.
1. Stelle die Generatoren von \(U_1\) und \(U_2\) in Matrixform auf.
2. Bringe beide Matrizen auf reduzierte Zeilenstufenform (RZF), um eine vereinfachte Basis für beide Unterräume zu erhalten.
3. Setze die Basisvektoren von \(U_1\) als Linearkombination der Basisvektoren von \(U_2\) an (oder umgekehrt), um zu überprüfen, welche Vektoren in beiden Unterräumen enthalten sind. Lösung des entsprechenden linearen Gleichungssystems (LGS).
4. Die Lösungen dieses LGS geben die Basisvektoren des Durchschnitts \(U_1 \cap U_2\) an.
b) Basis für \(U_1 + U_2\)
Die Basis des Summenraumes \(U_1 + U_2\) zu finden, bedeutet, die Unterräume \(U_1\) und \(U_2\) zu kombinieren und eine Menge von linear unabhängigen Vektoren zu bestimmen, die den gesamten Raum aufspannen.
1. Kombiniere alle Generatoren von \(U_1\) und \(U_2\) in einer einzigen Matrix.
2. Bringe diese kombinierte Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform (RZF), um die linear unabhängigen Vektoren zu identifizieren.
3. Die Vektoren, die zu den führenden Einsen in der RZF korrespondieren, bilden eine Basis für \(U_1 + U_2\).
Leider, ohne die genaue Korrektur oder Vervollständigung der Vektoren von \(U_2\), kann ich keinen exakten Rechenweg durchführen. Jedoch folgt diese Methode einem allgemeinen Ansatz, mit dem solche Probleme gelöst werden können. Stellen Sie sicher, dass die Vektoren von \(U_2\) korrekt angegeben sind, und folgen Sie dann den oben genannten Schritten für eine exakte Lösung.
