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Aufgabe:

Bestimmen sie die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 2 der Matrix M_a,b in Abhängigkeit von a und b

$$M _ { a , b } = \left( \begin{array} { c c c } { - 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 a } & { b } & { a } \\ { 10 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right)$$


Problem/Ansatz:

Wie man Eigenwert und Eigenvektor bestimmt weiß ich.

Ebenso weiß ich wie das mit der algebraischen/geometrischen Vfh. funktioniert, nur habe ich Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe.

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums.

Du muss also die Dimension des Lösungsraumes von

(M - 2*E)*x = 0 bestimmen.  Das gibt die Matrix

-5     0      0
2a   b-2    a
10     0      0

1. Zeile mal 2 zur 3. addiert gibt

-5     0      0
2a   b-2    a
 0     0      0

Du hast also jedenfalls x1=0 und

     (b-2) * x2 + a*x3 = 0

1. Fall   b=2 und a≠0   gibt

         x2 beliebig  und x3=0

Also sehen alle Lösungen dann so aus:

    ( 0;t;0) mit t∈ℝ  , also dim(L)=1 somit

geometrische Vielfachheit 1.

2. Fall   b=2 und a=0   gibt

  x2 beliebig  und x3 beliebig 
 Also sehen alle Lösungen dann so aus:    ( 0;t;s) mit t,s∈ℝ  , 
also dim(L)=2 somit geometrische Vielfachheit 2.

3.  Fall   b≠2 gibt  
x2 = -a*x3 / (b-3)    und x3 beliebig  
Also sehen alle Lösungen dann so aus:    ( 0;  -as/(b-2) ;s) mit s∈ℝ  , 
also dim(L)=1 somit geometrische Vielfachheit 1.

von 161 k
+1 Punkt

"Wie man Eigenwert und Eigenvektor bestimmt weiß ich."

Super. Dann fang schon mal an, die Eigenwerte und -vektoren zu berechnen.

Was erhältst du?

(Zum Vergleich: ein EW ist positiv, einer negativ und einer von einem der beiden Parameter abhängig.

Über den Rest reden wir dann.

von 2,6 k

Ich dachte, dass ich mit dem gegebenen Eigenwert rechnen soll (?)

Ja, aber für die Vielfachheit wirst du auch die beiden anderen brauchen.

Machen wir es kurz:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((-3,0,0),(2a,b,a),(10,0,2))

liefert drei Eigenvektoren.

Für die geometrische Vielfachheit werden die anderen Eigenwerte nicht benötigt.

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