Logik Rätsel - Ritter und Knappe

Question

Aufgabe: 

Ich löse gerade ein Rätsel und bin mir Unsicher:

Auf der Insel der Ritter und Knappen ist jeder Einwohner entweder ein Ritter oder ein Knappe.
Jeder Einwohner kennt seinen Status, und den Status von allen anderen Einwohnern. 
Es ist wichtig zu wissen, dass Ritter immer die Wahrheit sagen und dass Knappen immer lügen. 
Sie werden auf Einwohner der Insel treffen und Ihre Aufgabe ist es zu entscheiden ober ein Ritter oder ein Knappe ist. 

Sie treffen Johannes und Willhelm auf der Insel.
Johannes sagt: "Willhelm und ich sind Ritter".
Willhelm sagt: "Das ist eine Lüge, Johannes ist ein Knappe".


Erster Ansatz: 
Wenn Johannes ein Ritter ist, und nach obigem Text stets die Wahrheit sagt,
dann ist Johannes ein Ritter und gleichzeitig ist auch Willhelm ein Ritter.
Wilhelm sagt (Dann als Ritter doch stets die Wahrheit)  und nach seiner Aussage müsste dann Johannes ein Knappe sein. 
=> Das geht nicht auf. Es macht einfach keinen Sinn. 

Zweiter Ansatz:
Wenn Johannes ein Knappe ist, und sagt, dass Johannes und Willhelm Ritter sind, lügt er als Knappe.
Diese Aussage bedeutet, dass nicht beide Gleichzeitig Ritter sind, jedoch die Möglichkeit dass einer der beiden der Ritter ist, ist noch gegeben. 
Wenn jetzt aber Willhelm der Ritter ist, dann sagt ist seine Aussage, die besagt, dass Johannes ein Knappe ist wahr. 

Insgesamt passt der zweite Ansatz und ich halte den für richtig. 
Und somit ist Johannes ein Knappe und Wilhelm ein Ritter. 


Problem:
Ich weiss nicht ob es stimmt, und ich habe auch versucht, dass irgendwie zu formalisieren aber das gelingt mir nicht. Und das Problem ist, dass ich nur sage "irgendwie" aber nicht mit gewissheitsagen kann, das stimmt ! 


Der Versuch es zu auszuformalisieren:

Answer 1

Hallo limonade,

Ja - man kann das formalisieren.

Die Aussage \(A_J\) von Johannes ist: "Willhelm und ich sind Ritter": $$A_J = \,(J=R) \, \land \, (W=R)$$Die Aussage \(A_W\) von Willhelm ist: "Das ist eine Lüge, Johannes ist ein Knappe":$$A_W= \,  \lnot A_J \, \land \, (J=K)$$Nun kommen die vier Möglicheiten in Betracht:$$\begin{aligned} A_J \land A_W &= \text{wahr} \\ \lnot A_J \land A_W &= \text{wahr} \\ A_J \land \lnot A_W &= \text{wahr} \\ \lnot A_J \land \lnot A_W &= \text{wahr} \end{aligned}$$Setze das obige in jede der vier Glechungen ein und prüfe nach, ob das aufgeht.  Es ist bereits aus der Aussage von Willhelm \(A_W = \lnot A_J \, \land \dots\) ersichtlich, dass \(A_J \ne A_W\) sein muss. So bleiben nur noch zwei Möglichkeiten.

Oder Du versuchst eine Gleichung zu lösen, die in etwa so aussieht:$$ \left( (A_J \, \land \, (J=R))  \lor (\lnot A_J \, \land \, (J=K))\right) \, \land \, ((A_W \, \land(W = R)) \, \lor \, (\lnot A_W \, \land \, (W=K))) = \text{wahr}$$... macht es aber nicht einfacher.

Answer 2

Ist doch ok.

Dein erster Ansatz zeigt: Johannes ist kein Ritter.

Dann ist doch alles klar.